2.5.1. Resultados algebraicos

  1. Una función racional real es un cociente de polinomios con coeficientes reales P(x)Q(x)=pmxm+pm1xm1++p1+p0anxn+an1xn1++a1+a0\frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{p_m x^m+p_{m-1} x^{m-1}+ \cdots +p_1+p_0}{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots +a_1+a_0} Diremos que es propia si el grado P(x)<grado Q(x)grado \space P(x) \lt grado \space Q(x) y en caso contrario se dice impropia.
  2. Toda función racional impropia puede escribirse como un polinomio más una función racional propia, pues basta abordar la división polinomial. P(x)Q(x)=C(x)+R(x)Q(x),grado R(x)<grado Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}, \qquad grado \space R(x) \lt grado \space Q(x)
  3. Con base el Teorema Fundamental del Álgebra, demostrado por Gauss, todo polinomio de grado nn con coeficientes reales puede descomponerse en el producto de un polinomio cero, polinomios de grado uno de la forma xrx-r y polinomios de grado dos x2+bx+cx^2+b x+c que son irreducibles en R \mathbb{R} (se corresponde con una pareja de raíces complejas conjugadas): Q(x)=a(xr1)α1(xr2)α2(xrk)αk(x2+b1x+c1)β1(x2+bmx+cm)βm Q(x)=a (x-r_1)^{\alpha_1} (x-r_2)^{\alpha_2} \cdots (x-r_k)^{\alpha_k} (x^2+b_1 x+c_1)^{\beta_1} \cdots (x^2+b_m x+c_m)^{\beta_m} con α1+α2++αk+2β1++2βm=grado Q(x)\alpha_1 +\alpha_2+ \cdots + \alpha_k + 2 \beta_1 + \cdots + 2 \beta_m = grado \space Q(x) .

  4. Toda función racional propia con coeficientes reales puede descomponerse en sumas de fracciones algebraicas de la forma A(xr)αyMx+N(x2+bx+c)βconA,M,NRyα,βN\frac{A}{(x-r)^\alpha} \quad \textrm{y} \quad \frac{M x+N}{(x^2+b x+ c)^\beta} \quad \textrm{con} \quad A, M, N \in \mathbb{R} \quad \textrm{y} \quad \alpha, \beta \in \mathbb{N} a las que se denominan fracciones simples. La descomposición se concreta en: