2.5.1. Resultados algebraicos
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Una función racional real es un cociente de polinomios con coeficientes reales
Q(x)P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1+a0pmxm+pm−1xm−1+⋯+p1+p0
Diremos que es propia si el grado P(x)<grado Q(x) y en caso contrario se dice impropia.
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Toda función racional impropia puede escribirse como un polinomio más una función racional propia, pues basta abordar la división polinomial.
Q(x)P(x)=C(x)+Q(x)R(x),grado R(x)<grado Q(x)
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Con base el Teorema Fundamental del Álgebra, demostrado por Gauss, todo polinomio de grado n con coeficientes reales puede descomponerse en el producto de un polinomio cero, polinomios de grado uno de la forma x−r y polinomios de grado dos x2+bx+c que son irreducibles en R (se corresponde con una pareja de raíces complejas conjugadas):
Q(x)=a(x−r1)α1(x−r2)α2⋯(x−rk)αk(x2+b1x+c1)β1⋯(x2+bmx+cm)βm
con α1+α2+⋯+αk+2β1+⋯+2βm=grado Q(x).
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Toda función racional propia con coeficientes reales puede descomponerse en sumas de fracciones algebraicas de la forma (x−r)αAy(x2+bx+c)βMx+NconA,M,N∈Ryα,β∈N
a las que se denominan fracciones simples. La descomposición se concreta en: