La curvatura de una función en un punto $a$ se determina con la posición de la recta tangente en $a$ respecto a la curva, así diremos que:

• $f$ es Para evitar confusiones también se puede decir "cóncava hacia arriba" convexa en $a$ si en un entorno de $a$ la tangente en $(a, f(a))$ queda por debajo de la curva.
• $f$ es O bien "cóncava hacia abajo" cóncava en $a$ si en un entorno de $a$ la tangente en $(a, f(a))$ queda por encima de la curva.

Los puntos de la curva en los que cambia la curvatura, pasa de ser cóncava a convexa o viceversa, se llaman puntos de inflexión. En ellos la recta tangente atraviesa a la curva.

La posición de la tangente respecto a la curva se relaciona con el signo de $f''(a)$ si existe, ya que:

• Si $f''(a) \gt 0$ existe un entorno de $a$ en el que la tangente queda por debajo de la curva.
• Si $f''(a)\lt 0$ existe un entorno de $a$ en el que la tangente queda por encima de la curva.

Ahora puedes ver cómo se justifica el criterio de la segunda derivada para la determinación de máximos y mínimos relativos, citado en el apartado anterior.

• Si $f'(a) = 0$ y $f''(a) \gt 0$ en $a$ hay un mínimo relativo.
• Si $f'(a) = 0$ y $f''(a) \lt 0$ en $a$ hay un máximo relativo.

Pero, ¿qué ocurre si $f'(a)=0$ y también $f''(a)=0$? Entonces habrá que recurrir a las derivadas sucesivas hasta encontrar la primera que no se anula.