En el capítulo anterior se resolvieron algunas indeterminaciones del tipo $0/0$ y $\infty / \infty$, ahora vamos a ver un resultado que permite un método general de resolución en estos casos, la Regla de L'Hôpital.

La demostración de este resultado en el caso más general es complicada, pero si tomamos $f$ y $g$ de forma que $f'$ y $g'$ sean continuas en $a$ y $g'(a)\text{ } \cancel {=} \text{ }0$ la justificación es sencilla.

Como $f$ y $g$ son derivables en $a$, son continuas en $a$ y $\lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = 0 \Rightarrow f(a) = g(a) = 0$

Entonces tenemos:

$\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}$  = $f(a) = g(a) = 0$ $\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$ = $\lim\limits_{x \to a} \dfrac {\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}} {\dfrac {g(x)-g(a)}{x-a}}$  =  $\dfrac {\lim\limits_{x \to a} {\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}} {\lim\limits_{x \to a}{\dfrac {g(x)-g(a)}{x-a}}}$  = $f$ y $g$ derivables en $a$$\dfrac {f'(a)}{g'(a)}$ = $f'$ y $g'$ continuas en $a$ $\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f'(x)}{g'(x)}$

La aplicación de la regla como se ve es fácil, una vez comprobado que se cumplen las hipótesis, se derivan por separado numerador y denominador y se vuelve a tomar límites. Si de nuevo se obtiene la indeterminación, se repite el proceso, y así las veces que sean necesarias. Aunque no es habitual puede ocurrir que al aplicar L'Hôpital, se complique cada vez más la expresión resultante, en ese caso habría que recurrir a otros métodos.