Si en lugar de aproximar el valor de la función en $x$ lo hacemos con el incremento o variación de la función $\Delta y = f(x+h) - f(x)$, tendríamos que $\Delta y \simeq f'(x) h$ o bien $\Delta y \simeq f'(x) \Delta x$, pues $h = (x + h) - x$ es la variación o incremento de la variable independiente. Por tanto, $\Delta y$ podemos aproximarlo por la siguiente función en la que vamos a denotar la variable dependiente como $dy$ y la independiente como $dx$ y que viene definida como $dy = f'(x) dx$. Esta función sí que es estrictamente lineal y se denomina diferencial.

La definición anterior tiene relación con la notación de Leibniz para la derivada: $\frac{dy}{dx}= f'(x)$ y, como hemos visto, es especialmente útil para cálculos en los que dx es pequeño ya que en esos casos dy aproxima muy bien a $\Delta y$ y por tanto $f(x+ dx) \simeq f(x)+dy$, o bien en razonamientos como el siguiente $(x + dx)^2=x^2+2 x dx+ dx^2 \simeq x^2+2 x dx$ porque si $dx$ es un valor próximo a cero $dx^2$ es más pequeño aún y, por tanto, "despreciable" frente al primero. Pero insistamos que siempre hay un error $\epsilon$ que es necesario controlar para realizar operaciones matemáticamente correctas $\Delta y = dy + \epsilon$.

En la siguiente escena puede observarse geométricamente la relación entre $\Delta y$ y $dy$. También rescribiremos el álgebra de derivadas expresadas como diferenciales.