Sintetizando los resultados anteriores tenemos:
Álgebra de derivadas
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Derivada de la suma $$(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)$$ Derivada del producto $$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ Regla de la cadena $$f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)$$ |
Derivada de una constante por una función $$(c \thinspace f(x))' = c \thinspace f'(x)$$ Derivada del cociente $$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{g(x)f'(x)- f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$ Derivada de la función recíproca $$(f^{-1})'(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$ |
Al verificarse las dos primeras propiedades se dice que la derivación es una operación lineal.
Derivadas de funciones elementales
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Función constante $$Si f(x)= c, \medspace c \in \mathbb{R} \rArr f'(x)=0$$ |
Potencia de exponente racional $$Si f(x)=x^q, \medspace q \in \mathbb{Q} \rArr f'(x)=q \thinspace x^{q-1}$$ |
Procedamos a calcular las derivadas de más funciones elementales y así, mediante la aplicación del álgebra de derivadas, podremos derivar todas las funciones que sean suma, resta, producto, cociente, composición y/o recíprocas de dichas funciones elementales. Quedaría sin cubrir el caso de una función elevada a una función, pero todo a su tiempo. Lo importante es que con cinco reglas y el conocimiento de esas derivadas elementales podemos derivar infinitas funciones.