Si y=f(x)y = f(x) es una función continua en el intervalo [a,b][a, b] y mm es un valor comprendido entre f(a)f(a) y f(b)f(b), entonces existe al menos un punto c∈(a,b)c \in {(a, b)} tal que f(c)=mf(c) = m.

De forma intuitiva podemos ver que si una función es continua en el intervalo [a,b][a, b] tomará todos los valores comprendido entre f(a)f(a) y f(b)f(b). Para demostrarla podemos aplicar el teorema de Bolzano:

6.3. Funciones acotadas. Teorema de Weierstrass

Funciones acotadas

Dada una función real de variable real, ff, diremos que:

  1. ff está acotada superiormente en R\mathbb R si hay un valor M tal que f(x)≤Mf(x) \leq M para todos los valores que toma f(x). El número M es una cota superior de ff.
  2. ff está acotada inferiormente en R\mathbb R si hay un valor m tal que f(x)≥mf(x) \geq m para todos los valores que toma f(x). El número m es una cota inferior de ff.
  3. ff está acotada en R\mathbb R si lo está superior e inferiormente.