De forma intuitiva podemos ver que si una función es continua en el intervalo $[a, b]$ tomará todos los valores comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$. Para demostrarla podemos aplicar el teorema de Bolzano:

6.3. Funciones acotadas. Teorema de Weierstrass

Funciones acotadas

Dada una función real de variable real, $f$, diremos que:

1. $f$ está acotada superiormente en $\mathbb R$ si hay un valor M tal que $f(x) \leq M$ para todos los valores que toma f(x). El número M es una cota superior de $f$.
2. $f$ está acotada inferiormente en $\mathbb R$ si hay un valor m tal que $f(x) \geq m$ para todos los valores que toma f(x). El número m es una cota inferior de $f$.
3. $f$ está acotada en $\mathbb R$ si lo está superior e inferiormente.