Si los resultados obtenidos al calcular un límite no nos permiten determinar si existe y cuál es su valor, o si no existe estamos ante una indeterminación. Las indeterminaciones básicas son:
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$\dfrac{\infty}{\infty}$ $\infty - \infty$ $\dfrac{0}{0}$ $0\text{ }·\infty$ $0^0$ $\infty ^0$ $1^\infty$ |
A continuación veremos algunos procedimientos de resolución, básicamente aplicaremos el
Sea $c\in \mathbb R$ y $f(x) = g(x) $ para todo $x \cancel {=} c$ en un intervalo abierto que contiene a $c$. Si existe el límite de $g(x)$ cuando $x \to c$ entonces también existe el límite de $f(x)$ y
$\lim\limits_{x \to{c}}{f(x)}=\lim\limits_{x \to{c}}{g(x)}$
Indeterminación $\dfrac{\infty}{\infty}$
Cuando numerador y numerador son polinomios una forma de resolver esta indeterminación es dividir ambos por la potencia máxima de x. Otra forma más rapida es considerar los términos "dominantes" en numerador y denominador, es decir los términos de mayor grado. Así resulta que:
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Dados $P(x)=a_p x^p + a_{p-1} x^{p-1} + ... + a_0$ y $P(x)=b_q x^q + b_{q-1} x^{q-1} + ... + b_0$ tenemos que: |
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Si p≤ q $\Rightarrow \lim\limits_{x \to{+\infty}}{\dfrac{P(x)}{Q(x)}}= 0$ |
Si p=q $\Rightarrow \lim\limits_{x \to{+\infty}}{\dfrac{P(x)}{Q(x)}}= \dfrac {a_p}{b_q}$ |
Si p>q $\Rightarrow \lim\limits_{x \to{+\infty}}{\dfrac{P(x)}{Q(x)}}= \pm \infty$ |
Las reglas son análogas para $x \to -\infty$ y también se aplican si en el numerador o denominador hay una raíz $\sqrt[n] {P(x)}$, o potencia de exponente fraccionario, entendiendo entonces que el grado es p/n.