Paso 1: Polinomio característico

Dada la matriz $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$ su polinomio característico es: $$p_A(\lambda )=det(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\ c& d-\lambda \end{array}\right|$$ Calculamos el determinante: $$det(A-\lambda I)=(a-\lambda )(d-\lambda )-bc$$ Desarrollamos: $${\lambda }^2-(a+d)\lambda +(ad-bc)=0$$ Este es un polinomio cuadrático cuyas raíces son los autovalores ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$

Paso 2: Resolver el polinomio cuadrático

Usando la fórmula resolvente:

Paso 3: Comparación con la traza y el determinante

Sabemos que la traza de $A$ es: $$\text{Traza}(A)=a+d$$ Observamos que en la fórmula de los autovalores, el término en el numerador que no está dentro de la raíz cuadrada es exactamente $(a+d)$, lo que nos permite concluir que si sumamos ambas raíces obtenemos: $${\lambda }_1+{\lambda }_2=a+d=\text{Traza}(A)$$ Por otro lado, el producto de las raíces $x_1,x_2$ de un polinomio cuadrático $a{x}^2+bx+c=0$ siempre es el término independiente dividido por el coeficiente de $x^2$, es decir: $$x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$$ Que en nuestro caso lleva a: $${\lambda }_1{\lambda }_2=\frac{ad-bc}{1}=ad-bc$$ Lo que es fácilmente comprobable haciendo el producto de las raíces obtenidas con la resolvente. Pero esto es justamente el determinante de $A$.
Conclusión: $$det(A)={\lambda }_1{\lambda }_2$$