a) Paso 1: Elección de vectores base

El plano de reflexión está definido por la ecuación: $$\pi :x-z=0\Rightarrow x=z.$$ El vector normal a este plano es: $$n=(1,0,-1).$$ Sabemos que este vector se transforma en su opuesto, cambia de signo bajo la reflexión: $$T(1,0,-1)=(-1,0,1).$$ Ahora elegimos dos vectores que estén en el plano, es decir, vectores ortogonales a $n$. Para encontrarlos, tomamos vectores que satisfagan la ecuación $x-z=0$. Elegimos: $$v_1=(1,0,1),v_2=(0,1,0).$$ Como están en el plano, permanecen invariantes bajo la reflexión: $$T(1,0,1)=(1,0,1),$$ $$T(0,1,0)=(0,1,0).$$

Paso 2: Aplicación del Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales (TFTL)

El TFTL nos dice que si conocemos la imagen de una base, podemos construir la matriz asociada. Usamos como base $B=\{v_1,v_2,n\}$, cuyos transformados son: $$T(v_1)=v_1,T(v_2)=v_2,T(n)=-n.$$ $$T(1,0,1)=(1,0,1),T(0,1,0)=(0,1,0),T(1,0,-1)=(-1,0,1)$$ Queremos encontrar la expresión general de $T(x,y,z)$. Para ello, expresamos un vector genérico $(x,y,z)$ como combinación lineal de la base $B=\{(1,0,1),(0,1,0),(1,0,-1)\}$: $$(x,y,z)={\alpha }_1(1,0,1)+{\alpha }_2(0,1,0)+{\alpha }_3(1,0,-1).$$ A partir de la combinación lineal, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: $${\alpha }_1+{\alpha }_3=x,$$ $${\alpha }_1-{\alpha }_3=z,$$ $${\alpha }_2=y$$ Resolviendo para ${\alpha }_1$ y ${\alpha }_3$, sumamos y restamos las ecuaciones: $${\alpha }_1=\frac{x+z}{2}$$ $${\alpha }_3=\frac{x-z}{2}$$ Aplicamos la transformación: $$T(x,y,z)=\frac{x+z}{2}(1,0,1)+y(0,1,0)+\frac{x-z}{2}(-1,0,1).$$ Distribuyendo los escalares: $$T(x,y,z)=(\frac{x+z}{2}-\frac{x-z}{2},y,\frac{x+z}{2}+\frac{x-z}{2}).$$ Simplificando los términos: $$T(x,y,z)=(z,y,x)$$

b)

Si tomamos la base $B$ anterior y tomamos en cuenta como se construye la matriz $$M{\left(T\right)}_{BB}=\left({\left[T\left(v_1\right)\right]}_B{\left[T\left(v_2\right)\right]}_B{\left[T\left(n\right)\right]}_B\right)$$ $$T(1,0,1)=(1,0,1)=1(1,0,1)+0(0,1,0)+0(-1,0,1)\Rightarrow {[T(1,0,1)]}_B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$ De igual manera: $${[T(0,1,0)]}_B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$ $${[T(1,0,-1)]}_B=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$$ Expresamos la matriz de $T$ en la base $B$: $$M(T{)}_{BB}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

c) Paso 3: Cambio a la base canónica

Queremos expresar $T$ en la base canónica $\{e_1,e_2,e_3\}$. Para ello, expresamos los vectores de $B$ en términos de la base canónica: $$v_1=(1,0,1),v_2=(0,1,0),n=(1,0,-1).$$ Formamos la matriz de cambio de base $P_{BE}=P$, cuya columna $i$-ésima es la expresión de $v_i$ en la base canónica: $$P_{BE}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$$ La matriz de $T$ en la base canónica se obtiene como: $$M(T)=P_{BE}M(T{)}_{BB}{P}_{BE}^{-1}$$ Calculamos $P_{BE}^{-1}=P_{EB}=P^{-1}$.  Dejamos al lector como tarea verificar que dicha matriz es: $$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 1& 0\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{-2}\end{array}\right)$$ Finalmente, calculamos: $$M(T)=PM(T{)}_{BB}{P}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 1& 0\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{-2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$