Parte 1: Probar que $T$ es inyectiva para todo $a\in \mathbb{R}$

Para que $T$ sea inyectiva, su núcleo debe ser trivial, es decir, sólo debe contener al vector nulo. El núcleo de $T$ está dado por: $$Nu(T)=\{v\in {\mathbb{R}}^2/T(v)=(0,0,0)\}.$$ Dado que la matriz estándar de $T$ es: $$M(T)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& a\\ 0& -1\end{array}\right),$$ queremos encontrar los vectores $(x,y)$ tales que: $$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& a\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$ Desarrollando el producto matricial: $$\{\begin{array}{l}x+2y=0,\\ x+ay=0,\\ -y=0.\end{array}$$ De la tercera ecuación se obtiene $y=0$, y reemplazando en las dos primeras: $$x+2(0)=0\Rightarrow x=0.$$ Por lo tanto, el único vector en el núcleo es $(0,0)$, lo que implica que $T$ es inyectiva para todo $a\in \mathbb{R}$.

Parte 2: Hallar el valor de $a$ tal que $(-1,-1,4)$ pertenezca a la imagen de $T$

El vector $(-1,-1,4)$ pertenece a la imagen de $T$ si existe un vector $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ tal que: $$T(x,y)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& a\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 4\end{array}\right).$$ Desarrollamos el sistema: $$\{\begin{array}{l}x+2y=-1,\\ x+ay=-1,\\ -y=4.\end{array}$$ De la tercera ecuación: $$y=-4.$$ Sustituyendo en las otras ecuaciones: $$x+2(-4)=-1\Rightarrow x-8=-1\Rightarrow x=7.$$ $$x+a(-4)=-1\Rightarrow 7-4a=-1.$$ Resolviendo para $a$: $$-4a=-1-7=-8.$$ $$a=\frac{-8}{-4}=2.$$

Conclusión:

$T$ es inyectiva para todo $a\in \mathbb{R}$.
El valor de $a$ para que $(-1,-1,4)$ pertenezca a la imagen de $T$ es $a=2$.