Vamos a resolver el ejercicio paso a paso.

Paso 1: Expresar las coordenadas en la base B en función de las coordenadas canónicas

Queremos expresar un vector v=(a,b,c) en la base canónica de R3 en términos de sus coordenadas (α1,α2,α3) en la base B, donde: B={(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1)}. Esto significa que el vector v se escribe como: v=α1(1,0,0)+α2(1,1,0)+α3(1,0,1). Desarrollando: v=(α1+α2+α3,α2,α3). Comparando con las coordenadas canónicas (a,b,c), obtenemos el sistema: a=α1+α2+α3,b=α2,c=α3. Despejamos en términos de a,b,c: α2=b,α3=c,α1=a−b−c.

Paso 2: Aplicar la transformación F en función de a,b,c

Sabemos que en la base B, la transformación se expresa como: M(F)BE=(101−100) Esto significa que: F(v)=(101−100)(α1α2α3)=(α1+α3−α1). Sustituyendo α1=a−b−c y α3=c: F(v)=((a−b−c)+c−(a−b−c))=(a−b−a+b+c). Como E={1,x}, la expresión analítica de F(v) es: F(v)=(a−b)+(−a+b+c)x.

Paso 3: Hallar una base del núcleo de F

El núcleo está formado por los vectores (a,b,c) tales que: F((a,b,c))=(a−b)+(−a+b+c)x=0+0x. Comparando coeficientes:

1.   a−b=0⇒a=b.
2.  −a+b+c=0⇒−b+b+c=0⇒c=0.

Entonces los elementos del núcleo son de la forma: (a,a,0)=a(1,1,0). Por lo tanto, una base del núcleo es:  BNu={(1,1,0)} 

Dado que el núcleo tiene dimensión 1 y el espacio de partida tiene dimensión 3, la imagen de F tiene dimensión: dim⁡(Im(F))=3−1=2. Como el codominio P1 tiene dimensión 2, F es sobreyectiva.

Paso 4: Resolver F(v)=−1+x

Queremos resolver: (a−b)+(−a+b+c)x=−1+x. Comparando coeficientes:

1. a−b=−1.
2. −a+b+c=1.

De la primera ecuación: a=b−1. Sustituyendo en la segunda: −(b−1)+b+c=1. −b+1+b+c=1. c=0. Por lo tanto, los vectores v que cumplen la ecuación son: (b−1,b,0). Expresándolo en términos de b, tenemos: (−1,0,0)+b(1,1,0),b∈R. Es decir, la solución es:  v={(−1,0,0)+b(1,1,0)/b∈R}.