Ejemplo 1

Sea $F$ la siguiente transformación lineal: $$F:{\mathbb{R}}^{2\times 2}\to {\mathbb{R}}^3/F\left(\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\right)=\left(a+b+d,-d,d\right)$$ Hallar una base de la imagen.

Resolución

Podemos elegir una base del dominio y aplicar la transformación, obteniendo así un conjunto generador de la imagen. Si son LI, ya tenemos una base de la imagen. Si son LD, tendremos que eliminar "lo que sobra" para conseguir una base. Usemos la base canónica de ${\mathbb{R}}^{2\times 2}$: $$F\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(1,0,0\right)$$ $$F\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(1,0,0\right)$$ $$F\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(0,0,0\right)$$ $$F\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(1,-1,1\right)$$ Entonces obtuvimos el siguiente conjunto de generadores: $$\{(1,0,0),(0,0,0),(1,-1,1)\}$$ Nos quedamos con un conjunto linealmente independiente: $$B_{Im}=\left\{\left(1,0,0\right),\left(1,-1,1\right)\right\}$$ Si la dimensión de la imagen es 2, puedo conocer la dimensión del núcleo. Como el dominio tiene dimensión 4, la dimensión del núcleo debe ser: $$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\left(V\right)-\dim \left(Im\right)=\dim \left(Nu\right)=2$$ Busquemos el núcleo: $$(a+b+d,-d,d)=(0,0,0)\Rightarrow \{\begin{array}{c}a+b+d=0\\ -d=0\\ d=0\end{array}\Rightarrow d=0\wedge a=-b,\mathrm{\forall }c\in \mathbb{R}$$ Y la variable $c$ queda libre porque no aparece ninguna condición sobre ella. Entonces: $$Nu=\left\{\left(\begin{array}{cc}-b& b\\ c& 0\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}|b,c\in \mathbb{R}\right\}$$ $$B_{Nu}=\left\{\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\right\}$$ Lo cual es coherente con la dimensión del núcleo que calculamos anteriormente.

Ejemplo 2

Consideremos la transformación lineal: $$T:R^3\to R^3,T\left(v\right)=v\times w_0$$ Siendo $w_0=\left(0,0,1\right)$ un vector fijo y $v$ un vector cualquiera de $R^3$.

a) Hallar el núcleo, una base del núcleo y su dimensión.

b) Hallar la imagen, una base de la imagen y su dimensión

Resolución

Ya analizamos anteriormente que es una trasformación lineal. Sabemos que un vector pertenece al núcleo de la transformación sí y sólo si su transformado es el vector nulo: $$\left(x,y,z\right)\in Nu\left(T\right)\iff T\left(\left(x,y,z\right)\right)=\left(0,0,0\right)$$ Entonces transformemos a un vector genérico e igualémoslo al vector nulo para ver qué condiciones debe cumplir ese vector genérico: $$\left(x,y,z\right)\times \left(0,0,1\right)=\left(y,-x,0\right)=\left(0,0,0\right)$$ Es decir que el núcleo está formado por los vectores que cumplen que $x=0\wedge y=0$. Estos son los vectores paralelos al eje $z$. $$Nu\left(T\right)=\left\{\left(x,y,z\right)\in \mathbb{R}/x=0\wedge y=0\right\}$$ $$B_{Nu\left(T\right)}=\left\{\left(0,0,1\right)\right\}$$ $$\dim \left(Nu\left(T\right)\right)=1$$ ¿Se podría haber pensado esto geométricamente? ¿Cuál es el conjunto de vectores tales que su producto vectorial con $\left(0,0,1\right)$ es el vector nulo? Obtengamos la imagen a partir de que los transformados de una base del domino generan la imagen. $$B_{{\mathbb{R}}^3}=\left\{\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(0,0,1\right)\right\}$$ $$T\left(\left(1,0,0\right)\right)=\left(1,0,0\right)\times \left(0,0,1\right)=\left(0,-1,0\right)$$ $$T\left(\left(0,1,0\right)\right)=\left(0,1,0\right)\times \left(0,0,1\right)=\left(1,0,0\right)$$ $$T\left(\left(0,0,1\right)\right)=\left(0,0,1\right)\times \left(0,0,1\right)=\left(0,0,0\right)$$ Luego: $$Im\left(T\right)=gen\left\{\left(0,-1,0\right),\left(1,0,0\right),\left(0,0,0\right)\right\}$$ Sacando el vector nulo obtenemos un conjunto linealmente independiente, y así una base de la imagen: $$B_{Im\left(T\right)}=\left\{\left(0,-1,0\right),\left(1,0,0\right)\right\}$$ $$\dim \left(Im\left(T\right)\right)=2$$