Ejemplo 1

Buscar el núcleo y la imagen de la siguiente transformación lineal:

Resolución

Buscar el núcleo de la transformación lineal es buscar los vectores del dominio cuya imagen es el vector nulo del codominio: $$T\left(\left(x,y,z\right)\right)=\left(0,0\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}x+z=0\\ y-2z=0\end{array}\Rightarrow x=-z\wedge y=2z$$ Luego los vectores del núcleo son de la forma: $$\left(-z,2z,z\right)=z\left(-1,2,1\right)$$ Así podemos escribir: $$Nu=\left\{\left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3/x=-z\wedge y=2z\right\}=gen\left\{\left(-1,2,1\right)\right\}$$ $$B_{Nu}=\left\{\left(-1,2,1\right)\right\}\Rightarrow \dim \left(Nu\right)=1$$ El núcleo es una recta porque tiene dimensión 1.

¿Cuál es la dimensión de la imagen? Por el teorema de las dimensiones debe ser:

$$\dim \left(V\right)=\dim \left(NuT\right)+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\left(ImT\right)$$

La imagen es todo el espacio ${\mathbb{R}}^2$ porque el único subespacio de dimensión 2 que está en ${\mathbb{R}}^2$ es ${\mathbb{R}}^2$.

¿Cómo se llaman las funciones cuya imagen coincide con el codominio? Sobreyectivas.

Diremos entonces que $T$ es una transformación lineal sobreyectiva.

Ejemplo 2

Sea $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ una transformación lineal,

$$T\left(x,y\right)=\left(x-2y,2x-4y,-2x+4y\right)$$

Buscar una base y la dimensión de $Nu\left(T\right),Im\left(T\right)$

Resolución

Por el teorema de las dimensiones la suma de las dimensiones del núcleo y de la imagen debe ser 2. Es decir que puede ser alguno de los siguientes escenarios:

$$2+0$$

$$1+1$$

$$0+2$$

Busquemos $Nu\left(T\right)$:

$$\left(x-2y,2x-4y,-2x+4y\right)=\left(0,0,0\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}x-2y=0\\ 2x-4y=0\\ -2x+4y=0\end{array}\Rightarrow x=2y$$

Luego podemos dar una base del núcleo y su dimensión:

$$B_{Nu}=\left\{\left(2,1\right)\right\}\Rightarrow \dim \left(Nu\right)=1$$

Busquemos $Im\left(T\right)$. Un vector está en la imagen si es el transformado de algún vector del dominio:

$$\mathrm{T}\left(x,y\right)=\left(x-2y,2x-4y,-2x+4y\right)$$

Lo expresamos como suma de vectores separando las variables $x$ e $y$:

$$T\left(x,y\right)=\left(x,2x,-2x\right)+\left(-2y,-4y,4y\right)$$

Y sacamos como escalares a las variables:

$$=x\left(1,2,-2\right)+y\left(-2,-4,4\right)$$

Este método permite obtener generadores de la imagen, que pueden ser LI o LD. Acá se ve muy claro que $\left(-2,-4,4\right)=-2.\left(1,2,-2\right)$. Es decir que generan la imagen pero son linealmente dependientes, no es una base. Cualquiera de los dos sirve como base:

$$B_{Im\left(T\right)}=\left\{\left(1,2,-2\right)\right\}\Rightarrow \dim \left(Im\left(T\right)\right)=1$$

Más adelante veremos otro método para encontrar la imagen.

Ejemplo 3

Hallar núcleo e imagen de la siguiente transformación lineal:

$$F:P_2\to \mathbb{R}/F\left(p\right)=p\left(0\right)$$

Resolución

Notemos que los números reales pueden ser entendidos como un espacio vectorial de dimensión 1.

Si $p\left(x\right)=a{x}^2+bx+c,p\left(0\right)=c$

El núcleo estará formado por todos los polinomios cuyo término independiente es 0.

¿Cuál es una base para ese espacio vectorial? Podríamos describir al núcleo así:

$$Nu\left(F\right)=\left\{a{x}^2+bx/a,b\in \mathbb{R}\right\}$$

Una base natural es la constituida por los vectores: $x^2$ y $x$.

Entonces: $B_{Nu}=\left\{x^2,x\right\}\Rightarrow \dim \left(Nu\right)=2.$ Aplicando el teorema: $$\dim \left(Im\right)=1$$ Y ahora si consideramos que la imagen está incluida o es igual a $\mathbb{R}$, entonces: $$Im\left(F\right)=\mathbb{R}$$ ¿Y una base para el espacio vectorial $\mathbb{R}$? Puede servir cualquier número real, menos el cero. Tomamos por ejemplo: $$B_{Im}=\left\{1\right\}$$