Parte (a) – Demostración

Queremos probar que si $\text{Nu}(T)\ne \{0_{{\mathbb{R}}^n}\}$, entonces $\lambda =0$ es un autovalor de $T$ y su autoespacio es $\text{Nu}(T)$.

Paso 1: Definición del Núcleo

El núcleo de $T$ está definido como: $$\text{Nu}(T)=\{v\in {\mathbb{R}}^n\mid T(v)=0_{{\mathbb{R}}^n}\}$$ Dado que $\text{Nu}(T)\ne \{0_{{\mathbb{R}}^n}\}$, existe al menos un $v\ne 0$ tal que $T(v)=0_{{\mathbb{R}}^n}$.

Paso 2: Interpretación como Autoespacio

Si $T(v)=0_{{\mathbb{R}}^n}$, podemos escribir: $$T(v)=0\cdot v$$ Esto significa que $v$ es un autovector asociado al autovalor $\lambda =0$.

Paso 3: El autoespacio correspondiente

El conjunto de todos los vectores que cumplen $T(v)=0_{{\mathbb{R}}^n}$ es precisamente el núcleo de $T$, es decir, el espacio asociado a $\lambda =0$ es: $$S_0=\text{Nu}(T)$$ Por lo tanto, hemos probado que "si $\text{Nu}(T)\ne \{0_{{\mathbb{R}}^n}\}$, entonces $\lambda =0$ es un autovalor y su autoespacio es precisamente el núcleo de $T$".

Parte (b) – Diagonalización de $T$

Queremos analizar si $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ es diagonalizable.

Paso 1: Encontrar los autovalores

Sabemos que:

• $T(v)=2v$ para todo $v$ en el subespacio $S$, que es el plano definido por $x-z=0$. Esto significa que todos los vectores en $S$ son autovectores de $T$ con autovalor $\lambda =2$.
• $\text{Nu}(T)=\text{gen}\{(1,0,0)\}$, lo que implica que $T(1,0,0)=(0,0,0)=0(1,0,0)$, es decir, $(1,0,0)$ es un autovector asociado a $\lambda =0$.
Por lo tanto, los autovalores de $T$ son: $${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=0.$$

Paso 2: Encontrar una base de autovectores

Para que $T$ sea diagonalizable, debe existir una base de ${\mathbb{R}}^3$ formada por autovectores.

• El autoespacio de $\lambda =0$ es $\text{gen}\{(1,0,0)\}$.
• El autoespacio de $\lambda =2$ es $S=\text{gen}\{(1,0,1),(0,1,0)\}$, ya que $x-z=0$ implica que dos vectores independientes pueden generarlo, como $(1,0,1)$ y $(0,1,0)$.
Por lo tanto, una base de autovectores de ${\mathbb{R}}^3$ es: $$B=\{(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0)\}.$$

Paso 3: Construir la matriz diagonal

La matriz de $T$ en la base $B$ está dada por: $$M(T{)}_{BB}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$ Dado que encontramos una base de autovectores, concluimos que $T$ es diagonalizable.

Conclusión

• $T$ es diagonalizable porque hemos encontrado una base de autovectores.
• Una base de diagonalización es $B=\{(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0)\}$.
• La matriz diagonal asociada a $T$ en esta base es: $$M(T{)}_{BB}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$