Para analizar si $A$ es diagonalizable, verificamos si la suma de las dimensiones de los autoespacios es igual a la dimensión del espacio vectorial, es decir, $R^{3}$ .

Paso 1: Determinar los autovalores y sus multiplicidades

El polinomio característico de

A

es:

p (λ) = λ^{2} (1 - λ) .

Los autovalores de

A

son:

$λ_{1} = 0$ con multiplicidad algebraica $m_{0} = 2$ .
$λ_{2} = 1$ con multiplicidad algebraica $m_{1} = 1$ .

Paso 2: Verificar la dimensión de los autoespacios

Nos dicen que el subespacio $S = {x \in R^{3} ∣ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}$ es un autoespacio de $A$ .

Para $λ = 0$ :
- Como $S$ es un autoespacio, y dado que está definido por una ecuación lineal, tiene dimensión 2. Por lo tanto, la multiplicidad geométrica de $λ = 0$ es $d i m (S_{0}) = 2$ .
Para $λ = 1$ :
- Como $A$ es una matriz $3 \times 3$ , la dimensión del espacio vectorial es 3.
- La multiplicidad algebraica total es $m_{0} + m_{1} = 2 + 1 = 3$ .
- La multiplicidad geométrica de $λ = 1$ debe ser $d i m (S_{1}) = 1$ , ya que la suma de las dimensiones de los autoespacios no debe ser mayor que 3.

Paso 3: Concluir si $A$ es diagonalizable

Una matriz es diagonalizable si y solo si la suma de las multiplicidades geométricas es igual a la dimensión de la matriz.

Aquí tenemos: $d i m (S_{0}) + d i m (S_{1}) = 2 + 1 = 3$ Como la suma coincide con la dimensión de $R^{3}$ , A es diagonalizable.

Paso 1: Determinar los autovalores y sus multiplicidades

Paso 2: Verificar la dimensión de los autoespacios

Paso 3: Concluir si A es diagonalizable

Paso 3: Concluir si $A$ es diagonalizable