a) Hallar $A_3$

Sabemos que la matriz $A$ tiene la forma: $$A=\left(A_1{A}_2{A}_3\right),$$ donde se nos dan las primeras dos columnas: $$A_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$ Queremos encontrar $A_3$ de manera que el vector: $$v=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$$ sea un autovector de $A$ con autovalor $\lambda =2$. Es decir, debe cumplirse: $$Av=2v.$$

Desarrollamos el producto matricial. La matriz $A$ actúa sobre $v$ de la siguiente manera: $$Av=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 2& 1& b\\ 3& 0& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$$ Multiplicamos fila por columna: $$Av=\left(\begin{array}{c}(1\cdot 0)+(1\cdot 1)+(a\cdot (-1))\\ (2\cdot 0)+(1\cdot 1)+(b\cdot (-1))\\ (3\cdot 0)+(0\cdot 1)+(c\cdot (-1))\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-a\\ 1-b\\ -c\end{array}\right)$$ Por la condición de autovalor: $$Av=2v\Rightarrow \left(\begin{array}{c}1-a\\ 1-b\\ -c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot 0\\ 2\cdot 1\\ 2\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -2\end{array}\right)$$

Resolviendo el sistema de ecuaciones:
Igualamos componente a componente: $$1-a=0,1-b=2,-c=-2$$ De donde obtenemos: $$a=1,b=-1,c=2.$$ Por lo tanto, la tercera columna de $A$ es: $$A_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$$

Conclusión

La matriz queda: $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& -1\\ 3& 0& 2\end{array}\right)$$

b) Hallar los restantes autovalores y autoespacios de $A$

Ahora que tenemos la matriz completa: $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& -1\\ 3& 0& 2\end{array}\right),$$ buscamos sus autovalores resolviendo la ecuación característica: $$det(A-\lambda I)=0$$ $$\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 1& 1\\ 2& 1-\lambda & -1\\ 3& 0& 2-\lambda \end{array}\right|=0$$ Expandiendo por la primera fila: $$det(A-\lambda I)=(1-\lambda )\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & -1\\ 0& 2-\lambda \end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 2-\lambda \end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}2& 1-\lambda \\ 3& 0\end{array}\right|$$ Calculamos los determinantes menores: $$\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & -1\\ 0& 2-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda )(2-\lambda )-(0)=(1-\lambda )(2-\lambda ),$$ $$\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 2-\lambda \end{array}\right|=2(2-\lambda )+3(1)=4-2\lambda +3=7-2\lambda ,$$ $$\left|\begin{array}{cc}2& 1-\lambda \\ 3& 0\end{array}\right|=-3(1-\lambda )=-3+3\lambda$$ Sustituyendo: $$\begin{array}{rl}(1-\lambda )(2-\lambda )(1-\lambda )-(7-2\lambda )+(3\lambda -3)& =0\end{array}$$ Resolviendo la ecuación cúbica, obtenemos los autovalores: $${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=1+\sqrt{5},{\lambda }_3=1-\sqrt{5}$$

Hallamos los autoespacios de $A$

Ya encontramos que los autovalores son: $${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=1+\sqrt{5},{\lambda }_3=1-\sqrt{5}.$$ Ahora hallamos los autoespacios resolviendo $(A-\lambda I)v=0$ para cada $\lambda$.

Autoespacio para ${\lambda }_1=2$ $$A-2I=\left(\begin{array}{ccc}1-2& 1& 1\\ 2& 1-2& -1\\ 3& 0& 2-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& -1& -1\\ 3& 0& 0\end{array}\right)$$ Resolvemos el sistema $(A-2I)v=0$: $$\{\begin{array}{l}-x+y+z=0\\ 2x-y-z=0\\ 3x=0\end{array}$$ De la última ecuación, $x=0$. Sustituyendo en las otras: $$\{\begin{array}{l}y+z=0\\ -y-z=0\end{array}\Rightarrow z=-y$$ El autoespacio asociado a ${\lambda }_1=2$ es: $$S_2=\text{gen}\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)\right\}$$ Autoespacio para ${\lambda }_2=1+\sqrt{5}$ $$A-(1+\sqrt{5})I=\left(\begin{array}{ccc}1-(1+\sqrt{5})& 1& 1\\ 2& 1-(1+\sqrt{5})& -1\\ 3& 0& 2-(1+\sqrt{5})\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{ccc}-\sqrt{5}& 1& 1\\ 2& -\sqrt{5}& -1\\ 3& 0& 1-\sqrt{5}\end{array}\right)$$ Resolviendo $(A-(1+\sqrt{5})I)v=0$, obtenemos un sistema homogéneo (dejamos a manos del lector su resolución detallada). El autoespacio es: $$S_{1+\sqrt{5}}=\text{gen}\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ 1\end{array}\right)\right\}$$ Autoespacio para ${\lambda }_3=1-\sqrt{5}$
De manera análoga, $$S_{1-\sqrt{5}}=\text{gen}\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{-\sqrt{5}-1}{2}\\ 1\end{array}\right)\right\}$$

Conclusión