Ejemplo 1

Dada la siguiente transformación lineal $$T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3,T\left(\left(x,y,z\right)\right)=\left(x-2y,0,2x-4y\right)$$ Buscar el núcleo, la imagen, y determinar sus dimensiones.

Resolución

Para determinar el núcleo planteamos:

$\left(x,y,z\right)$ está en el núcleo $\iff$ $T\left(\left(x,y,z\right)\right)=\left(0,0,0\right)$

$$\left(x-2y,0,2x-4y\right)=\left(0,0,0\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}x-2y=0\\ 2x-4y=0\end{array}\Rightarrow x=2y$$ Esto implica que la primera componente debe ser el doble de la segunda y que la tercera componente no tiene restricciones. Es un error común, en este punto, suponer que como "no aparece $z$", entonces $z=0$. Pero es importante notar que si "no aparece $z$" esto significa que no existen restricciones sobre esa componente. La forma de un vector del núcleo sería: $$\left(2y,y,z\right)$$ Aplicando propiedades lo podemos escribir: $$y.\left(2,1,0\right)+z.\left(0,0,1\right)$$ Luego el núcleo es: $$Nu\left(T\right)=\left\{\left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3|x=2y\right\}=gen\left\{\left(2,1,0\right),\left(0,0,1\right)\right\}$$ Y una base del núcleo es: $$B_{Nu}=\left\{\left(2,1,0\right),\left(0,0,1\right)\right\}$$ La imagen la podemos obtener aplicando propiedades sobre la expresión que define la transformación lineal: $$\left(x-2y,0,2x-4y\right)=x.\left(1,0,2\right)+y.\left(-2,0,-4\right)$$ Los vectores $\left(1,0,2\right)$ y $\left(-2,0,-4\right)$ son linealmente dependientes. Entonces tomamos uno de ellos para la base de la imagen: $$B_{Im}=\left\{\left(1,0,2\right)\right\}$$ Finalmente podemos responder sobre las dimensiones de núcleo e imagen, porque hemos obtenido bases de estos subespacios: $$dim\left(Nu\right)=2$$ $$dim\left(Im\right)=1$$

Ejemplo 2

Dada la siguiente transformación lineal $$F:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^{2\times 2}F\left(\left(x,y,z\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}x+y& x-z\\ 0& y+z\end{array}\right)$$ Buscar el núcleo, la imagen, y determinar sus dimensiones.

Resolución

Para determinar el núcleo planteamos: $\left(x,y,z\right)$ está en el núcleo $\iff$ $F\left(x,y,z\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ $$\left(\begin{array}{cc}x+y& x-z\\ 0& y+z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}x+y=0\\ x-z=0\\ y+z=0\end{array}\Rightarrow x=z=-y$$ Se trata de un sistema compatible indeterminado. El núcleo queda definido entonces por vectores con la forma: $$\left(-y,y,-y\right)=y.\left(-1,1,-1\right)$$ Entonces: $$Nu\left(F\right)=\left\{\left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3|x=z=-y\right\}=gen\left\{\left(-1,1,-1\right)\right\}$$ $$B_{Nu}=\left\{\left(1,-1,1\right)\right\}$$ La imagen la podemos obtener aplicando propiedades sobre la expresión que define la transformación lineal: $$\left(\begin{array}{cc}x+y& x-z\\ 0& y+z\end{array}\right)=x.\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)+y.\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+z.\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$$ Luego, estas tres matrices generan la imagen, porque cualquier vector de la imagen es combinación lineal de ellas. $$Im\left(T\right)=gen\left\{\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\right\}$$ La generan, pero ¿son una base de la imagen? Observamos que las dos primeras son linealmente independientes. Pero la tercera es combinación lineal de las anteriores: $$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$$ Entonces una base de la imagen es: $$B_{Im}=\left\{\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right\}$$ Ahora podemos responder sobre las dimensiones: $$\dim \left(Nu\right)=1$$ $$\dim \left(Im\right)=2$$ Notemos que la suma de las dimensiones de núcleo e imagen es igual a la dimensión del dominio de la transformación lineal: $$\dim \left({\mathbb{R}}^3\right)=3$$ Esto no es casual, sino que se trata de un teorema que consideraremos a continuación.