El punto azul grande es un punto \( P\) sobre el círculo unitario. Su imagen \( TP\) bajo la transformación T se muestra como el punto más pequeño.

Arrastre \( P\) alrededor de la circunferencia y vea como cambia la imagen \( TP\) . ¿Dónde están los autovectores? ¿Cuáles son (aproximadamente) los autovalores? . Haga clic en 'Mostrar autovectores' en la parte superior derecha para verificar su respuesta.

Haga clic en 'Mostrar vectores de la base' para ver el efecto de la transformación T en los vectores de base estándar \( e_1, e_2,\;\) también llamados \( i, j\)).

Puede ingresar una nueva transformación lineal cambiando valores en la matriz T en la parte superior izquierda. También puedes arrastrar las imágenes \( Te_1, Te_2\) de los vectores de la base para cambiar a T.

Algunas transformaciones interesantes para probar:

$\text{T=}\left(\begin{array}{cc}\text{0}& \text{1}\\ \text{1}& \text{0}\end{array}\right)$

$\text{T=}\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& - \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right) \mathrm{escribir} \mathrm{como} \left(\begin{array}{cc}\text{0,71}& \text{−} \text{0,71}\\ \text{0,71}& \text{0,71}\end{array}\right)$

$\text{T=}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ \text{0}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

$\text{T=}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}& \frac{\sqrt{2}}{4}\\ \sqrt{2}& - \frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}\right) \mathrm{escribir} \mathrm{como} \left(\begin{array}{cc}\text{1,41}& \text{0,35}\\ \text{1,41}& \text{-} \text{0,35}\end{array}\right)$

Preguntas a considerar:

• ¿Qué representan geométricamente los valores propios?
• ¿Qué representa geométricamente el determinante?
• ¿Cuál es la relación entre el determinante (det T) y los valores propios?
• ¿Qué significa geométricamente si el determinante es negativo? ¿positivo? ¿cero?
• Mire dónde (si es que hay algún lugar) la imagen del círculo unitario se cruza con el círculo unitario. ¿Cuál es el significado de estos puntos de intersección? ¿Bajo qué condiciones de los valores propios se cruzan las curvas?
• ¿Cuál es la relación entre las imágenes \( Te_1, Te_2\) y la matriz \(T\)?