a) Para que $T$ sea biyectiva, debe ser inyectiva y sobreyectiva.

1. Inyectividad
Una transformación lineal $T$ es inyectiva si su núcleo es trivial, es decir, si la única solución de $T(x,y,z)=(0,0,0)$ es $(x,y,z)=(0,0,0)$. La ecuación $T(x,y,z)=(0,0,0)$ equivale al sistema: $$x+y+z=0$$ $$x+ky-z=0$$ $$3y-kz=0$$ Buscamos las soluciones de este sistema homogéneo.
1. De la tercera ecuación: $$3y-kz=0\Rightarrow z=\frac{3}{k}y\text{(si }k\ne 0\text{)}$$ 2. Sustituyendo en la primera ecuación: $$x+y+\frac{3}{k}y=0$$ $$x+(1+\frac{3}{k})y=0$$ $$x=-(1+\frac{3}{k})y$$ 3. Sustituyendo en la segunda ecuación: $$-(1+\frac{3}{k})y+ky-\frac{3}{k}y=0$$ Factorizamos $y$: $$y[-(1+\frac{3}{k})+k-\frac{3}{k}]=0$$ Para que la única solución sea $y=0$, la expresión entre corchetes debe ser distinta de cero: $$-1-\frac{3}{k}+k-\frac{3}{k}=-1+k-\frac{6}{k}\ne 0$$ Resolviendo $-1+k-\frac{6}{k}=0$: $$k-\frac{6}{k}=1$$ Multiplicamos por $k$: $$k^2-6=k$$ $$k^2-k-6=0$$ Factorizamos: $$(k-3)(k+2)=0$$ Por lo tanto, los valores que anulan la expresión y hacen que $T$ no sea inyectiva son $k=3$ y $k=-2$.
Conclusión: $T$ es inyectiva para $k\ne 3$ y $k\ne -2$.

2. Sobreyectividad
Como $T$ es una transformación de ${\mathbb{R}}^3$ en ${\mathbb{R}}^3$, la sobreyectividad es equivalente a la inyectividad. Esto significa que si $T$ es inyectiva, también es sobreyectiva. Por lo tanto, $T$ es biyectiva para $k\ne 3$ y $k\ne -2$.

b) Condiciones para que $T$ no sea biyectiva y $(0,1,-1)$ pertenezca a la imagen
Si $T$ no es biyectiva, entonces $k=3$ o $k=-2$, es decir, el núcleo no es trivial y la imagen no es todo ${\mathbb{R}}^3$. Queremos encontrar para cuáles valores de $k$, el sistema $$T(x,y,z)=(0,1,-1)$$ tiene solución, es decir: $$x+y+z=0$$ $$x+ky-z=1$$ $$3y-kz=-1$$

• Caso $k=3$:
  Usamos el núcleo encontrado antes:
  si $k=3$, hay soluciones no triviales para $T(x,y,z)=(0,0,0)$, pero al sustituir $k=3$ en el sistema con $(0,1,-1)$, obtenemos un sistema incompatible.
  Por lo tanto, $(0,1,-1)\notin \mathrm{Im}(T)$ para $k=3$.
• Caso $k=-2$:
  Si $k=-2$, la imagen de $T$ es un subespacio de dimensión 2, pero se verifica que el sistema tiene solución.