Parte (a) - Obtener la ecuación canónica e identificar la cónica

Al resolver la ecuación obtenemos: $$\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=4,$$ $$2x^2+4xy+5y^2=4.$$ Esta es una cónica en forma general. Para identificarla y llevarla a su forma canónica, debemos "diagonalizar" la matriz $A$ (es decir, encontrar un sistema de coordenadas rotado en el que la ecuación no tenga términos cruzados $xy$).

Paso 1: Encontrar los autovalores y autovectores de $A$

Los autovalores ($\lambda$) de $A$ satisfacen: $$det(A-\lambda I)=0,$$ donde $I$ es la matriz identidad. Entonces: $$det\left(\begin{array}{cc}2-\lambda & 2\\ 2& 5-\lambda \end{array}\right)=0.$$ Resolviendo: $$(2-\lambda )(5-\lambda )-4=0,$$ $$10-7\lambda +{\lambda }^2-4=0,$$ $${\lambda }^2-7\lambda +6=0.$$ Factorizamos: $${\lambda }^2-7\lambda +6=(\lambda -6)(\lambda -1)=0.$$ Por lo tanto, los autovalores son: $${\lambda }_1=6\text{y}{\lambda }_2=1.$$ Paso 2: Encontrar los autovectores

Para ${\lambda }_1=6$, resolvemos: $$\left(\begin{array}{cc}2-6& 2\\ 2& 5-6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0,$$ $$\left(\begin{array}{cc}-4& 2\\ 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0.$$ Resolviendo, obtenemos $y=2x$. El autovector asociado es: $$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right).$$ Para ${\lambda }_2=1$, resolvemos: $$\left(\begin{array}{cc}2-1& 2\\ 2& 5-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0,$$ $$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0.$$ Resolviendo, obtenemos $y=-\frac{1}{2}x$. El autovector asociado es: $$v_2=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right).$$ Paso 3: Cambio de base y ecuación canónica

La matriz de cambio de base $P$ tiene como columnas los autovectores: $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right).$$ La matriz $A$ en la base nueva es diagonal: $$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$ En la nueva base, la ecuación se convierte en: $$6x^{\prime }{}^2+y^{\prime }{}^2=4.$$ Dividiendo por 4: $$\frac{x^{\prime }{}^2}{\frac{2}{3}}+\frac{y^{\prime }{}^2}{4}=1.$$ Esta es la ecuación de una elipse, donde el eje mayor está en la dirección del autovector asociado a ${\lambda }_1=6$ (dirección $(1,2)$).

Parte (b) - Análisis para diferentes valores de $k$

La ecuación general es: $$\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=k.$$ Esto corresponde a: $$2x^2+4xy+5y^2=k.$$ En la nueva base, la ecuación se convierte en: $$6x^{\prime }{}^2+y^{\prime }{}^2=k.$$

Caso 1: $k>0$

La ecuación representa una elipse, como en el caso de $k=4$.

Caso 2: $k=0$

La ecuación se reduce a: $$6x^{\prime }{}^2+y^{\prime }{}^2=0.$$ El único punto que satisface la ecuación es el origen de coordenadas.

Caso 3: $k<0$

La expresión resultante es $$6x^{\prime }{}^2+y^{\prime }{}^2<0.$$ No existe lugar geométrico.