Sea $A$ una matriz simétrica de $2\times 2$ con autovalor 2 y determinante $-2$. Recordemos que una matriz simétrica tiene la forma: $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& d\end{array}\right)$$ Paso 1: Relación entre el determinante y los elementos de la matriz

El determinante de $A$ se calcula como: $$det(A)=ad-b^2$$ Queremos que: $$det(A)=-2⟹ad-b^2=-2$$ Paso 2: Condición de autovalores

Sabemos que $A$ tiene un autovalor ${\lambda }_1=2$.
Si $A$ es simétrica, sus autovalores (${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$) satisfacen: $${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2=det(A)$$ Entonces: $$2\cdot {\lambda }_2=-2⟹{\lambda }_2=-1$$ Paso 3: Relación con la traza de la matriz

La traza de $A$, ($\text{tr}(A)$) es la suma de sus autovalores: $$\text{tr}(A)=a+d={\lambda }_1+{\lambda }_2=2+(-1)=1$$ Esto nos da: $$a+d=1$$ Paso 4: Sistema de ecuaciones

Tenemos ahora las dos ecuaciones principales:

1. $a+d=1$
2. $ad-b^2=-2$
Resolvemos el sistema: De $\text{tr}(A)$, podemos expresar $d$ en términos de $a$: $$d=1-a$$ Sustituyendo en la ecuación del determinante: $$a(1-a)-b^2=-2$$ $$a-a^2-b^2=-2$$ $$-a^2+a+2=b^2$$ El valor de $b^2$ debe ser no negativo, lo que restringe los valores de $a$. Resolviendo para $b$, elegimos $a$ de forma que la ecuación sea consistente.
Ejemplo de solución: Tomemos $a=2$, entonces $d=1-a=-1$, y la matriz queda: $$A=\left(\begin{array}{cc}2& b\\ b& -1\end{array}\right)$$ El determinante es: $$det(A)=2(-1)-b^2=-2⟹b^2=0$$ Por lo tanto, $b=0$, y la matriz es: $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$ Para $b^2>0$, debemos resolver: $$b^2=-a^2+a+2>0$$ El discriminante de $-a^2+a+2=0$ nos da los valores extremos de $a$: $$-a^2+a+2=0⟹a^2-a-2=0$$ Resolviendo: $$a=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(1)(-2)}}{2(1)}$$ $$a=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}$$ $$a=2\text{o}a=-1$$ El rango válido de $a$ para $b^2>0$ es $-1<a<2$.

Elijamos $a=1$ (dentro del rango). Entonces: $$d=1-a=1-1=0$$ $$b^2=-(1{)}^2+(1)+2=2$$ $$b=\pm \sqrt{2}$$ Por lo tanto, la matriz es: $$A=\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{2}\\ \sqrt{2}& 0\end{array}\right)$$ o $$A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}& 0\end{array}\right).$$ Verificación

1. Simetría: Ambas matrices son simétricas.
2. Determinante $$det(A)=(1)(0)-(\sqrt{2}{)}^2=-2$$
3. Autovalores: Calculamos los autovalores resolviendo: $$det(\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{2}\\ \sqrt{2}& 0\end{array}\right)-\lambda I)=0$$ $$det\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & \sqrt{2}\\ \sqrt{2}& -\lambda \end{array}\right)=0$$ $$(1-\lambda )(-\lambda )-(\sqrt{2}{)}^2=0$$ $$-\lambda +{\lambda }^2-2=0⟹{\lambda }^2-\lambda -2=0$$ $$\lambda =2\text{y}\lambda =-1$$
Ambas matrices cumplen las condiciones con $b\ne 0$.