Ejemplo 1

Dados los siguientes subespacios de $V = R^{3}$ :

$S = {(x, y, z) | x - 3 z = 0}$

$T = {(x, y, z) | x + y - z = 0}$

Nos interesa hallar $S + T$ .

Busquemos una base de $S$ . Para eso en la ecuación despejamos una variable:

$x = 3 z$

Ahora armamos un vector genérico:

$(x, y, z) = (3 z, y, z) = z (3, 0, 1) + y (0, 1, 0)$

$B_{S} = {(3, 0, 1), (0, 1, 0)}$

Busquemos una base de $T$ . Para esto en la ecuación despejamos una variable:

$z = x + y$

Ahora armamos un vector genérico:

$(x, y, z) = (x, y, x + y) = x (1, 0, 1) + y (0, 1, 1)$

Entonces

$B_{T} = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}$

$S + T = g e n {(3, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}$

Sabemos que todo conjunto de más de 3 vectores en $R^{3}$ es linealmente dependiente, ya que la dimensión de $R^{3}$ es 3. ¿Cómo podemos extraer una base de la suma?

Podríamos armar una matriz con estos 4 vectores y llevarla a la forma escalonada. O si no, como el espacio es $R^{3}$ podemos pensar geométricamente:

Como

(1, 0, 1)

no verifica la ecuación del plano S, los 3 primeros vectores no son coplanares y por lo tanto forman una base de

R^{3}

. Podemos eliminar

(0, 1, 1)

porque es combinación lineal de dicha base.

Por lo tanto: $B = {(3, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1)}$ es base de $S + T$ y es base de $R^{3}$ .

En este caso, como $S + T$ es un subespacio de $R^{3}$ de dimensión 3, podemos afirmar que:

$S + T = R^{3}$

Generalizando:

$S$ subespacio de $V$ y $\dim (S) = \dim (V) \Rightarrow S = V$

Ejemplo 2

Dados los siguientes subespacios de $V = R^{4}$ :

$S_{1} = {x \in R^{4} | x_{1} + x_{2} = x_{2} + x_{4} = 0}$

$S_{2} = {x \in R^{4} | x_{1} - x_{4} = x_{3} + x_{4} = 0}$

Hallar base y dimensión de $S_{1} + S_{2}$ .

Resolución

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- x_{2}, x_{2}, x_{3}, - x_{2}) = x_{2} (- 1, 1, 0, - 1) + x_{3} (0, 0, 1, 0)$

$B_{S_{1}} = {(1, - 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}$

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (x_{4}, x_{2}, - x_{4}, x_{4}) = x_{4} (1, 0, - 1, 1) + x_{2} (0, 1, 0, 0)$

$B_{S_{2}} = {(1, 0, - 1, 1), (0, 1, 0, 0)}$

$S_{1} + S_{2} = g e n {(1, - 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 0, - 1, 1), (0, 1, 0, 0)}$

Cómo hemos visto, un método para analizar si son LI o LD, consiste en armar una matriz con los vectores como filas y llevarla a su forma escalonada. Por conveniencia colocaremos los vectores en el siguiente orden:

$(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$

$\underset{F_{2} \to F_{2} - F_{1}}{\to} (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$

$\underset{F_{3} \to F_{3} - F_{2}}{\to} (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$

$\underset{F_{4} \to F_{4} - F_{3}}{\to} (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

La matriz escalonada tiene 3 filas LI (su rango es 3), entonces podemos afirmar que la dimensión de $S + T$ es 3.

Como se anuló la última fila, el vector $(0, 0, 1, 0)$ es combinación lineal de los otros tres, por lo tanto una base de $S + T$ es: $B_{S + T} = {(1, - 1, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, - 1, 1)}$ .

Recordemos que las filas de la matriz escalonada componen otra base de la suma:

$B^{'}_{S + T} = {(1, - 1, 0, 1), (0, 1, - 1, 0), (0, 0, 1, 0)}$