Ejemplos en $\mathrm{V}={\mathbb{R}}^3$

A continuación consideraremos diferentes casos de suma de subespacios en ${\mathbb{R}}^3$.

Dos rectas

Un caso posible de suma de dos subespacios en ${\mathbb{R}}^3$ es el de dos rectas que se cortan:

Los dos vectores LI de las rectas generan un plano: aquél que contiene a ambas rectas. La suma es directa porque la intersección entre las rectas es el vector nulo.

$$S_1\cap S_2=\left\{\left(0,0,0\right)\right\}y{S}_1+S_2=gen\left\{v_1,v_2\right\}$$

$S_1\oplus S_2=S$ donde $S$ es el plano que contiene a las dos rectas

Dos planos que se cortan

Otro caso posible de suma de dos subespacios en ${\mathbb{R}}^3$ es el de dos planos que se cortan en una recta:

$$S_1\cap S_2\ne \left\{0_V\right\}y{S}_1+S_2=gen\{v_1,v_2,v_3,v_4]=gen\left\{v_1,v_2,v_3\right\}$$

La suma de los subespacios es ${\mathbb{R}}^3$ pero no es suma directa porque la intersección no es el vector nulo:

$$S_1+S_2={\mathbb{R}}^3$$

Un plano y una recta incluida en el plano

Otro caso posible de suma de dos subespacios en ${\mathbb{R}}^3$ es el de un plano y una recta incluida en el plano.

$$S_1+S_2=S_{1}pues{S}_2\subset S_1$$

Se obtiene el mismo plano, y la suma no es directa porque la intersección no es igual al vector nulo.

Un plano y una recta no incluida en el plano

Otro caso posible de suma de dos subespacios en ${\mathbb{R}}^3$ es el de un plano y una recta no incluida en el plano.

$$S_1\cap S_2=\left\{\left(0,0,0\right)\right\}y{S}_1+S_2=gen\left\{v_1,v_{2,}{v}_3\right\}={\mathbb{R}}^3$$

Se genera ${\mathbb{R}}^3$ porque el vector director de la recta no es coplanar con los vectores del plano, y además es directa porque la intersección es el vector nulo:

$$S_1\oplus S_2={\mathbb{R}}^3$$

Observación: En el último caso, la unión de las bases de los dos subespacios forma una base de todo el espacio. En este caso, cada vector de ${\mathbb{R}}^3$ puede expresarse de forma única como suma de un vector de $S_1$ y otro de $S_2$.

Ejercicio para el lector 1

Dados $S_1=gen\left\{\left(1,2,1\right),\left(0,2,0\right)\right\}$ y $S_2=\left\{\left(x,y,z\right):x+y=y–kz=0\right\}$,

a) Hallar los valores de $k$ para los cuales $S_1\oplus S_1={\mathbb{R}}^3$.

b) Para $k=0$ , comprobar que $v=\left(3,2,1\right)$ puede expresarse de forma única como suma de un vector $v_1\in S_1$ y otro de $v_2\in S_2$.

Ejercicio para el lector 2

Sean los subespacios de ${\mathbb{R}}^4$:

$S=gen\left\{\left(1,1,1,1\right),\left(0,1,0,1\right)\right\}$ y $T=\left\{\left(x,y,z,t\right):x–z=0,x–z+t=0\right\}$

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? Justificar.

1. $S\oplus T={\mathbb{R}}^4$
2. $S+T={\mathbb{R}}^4$
3. $S+T=Wy\dim \left(W\right)=3$
4. $S\oplus T=W$ y $\dim \left(W\right)=3$