Ejemplo 1

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales no homogéneo:

$$\{\begin{array}{c}x+y-z=2\\ -y+z=1\\ 2x+y-z=5\end{array}$$

Resolviendo resulta:

$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}z=1+y\\ x=3\end{array}$$

El conjunto solución es:

$$\left(x,y,z\right)=\left(3,y,1+y\right)=\left(3,0,1\right)+y\left(0,1,1\right)$$

$$S=\left\{\left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3|\left(x,y,z\right)=\lambda \left(0,1,1\right)+\left(3,0,1\right)\right\}$$

Según la propiedad vista anteriormente $S_h=\left\{\lambda \left(0,1,1\right)\right\}$ es solución del sistema homogéneo asociado y $X_p=\left(3,0,1\right)$ es una solución particular del sistema no homogéneo.

Ejemplo 2

Retomemos el sistema de ecuaciones que trabajamos en un ejemplo anterior:

$$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_4=3\\ x_3-x_4=2\\ x_1+x_2-x_3+2x_4=1\end{array}$$

Habíamos llegado al siguiente conjunto solución:

$$S=\left\{\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(3-x_4-x_2,x_2,2+x_4,x_4\right),\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}{x}_2,x_4\in \mathbb{R}\right\}$$

Observemos que el conjunto solución puede expresarse de la siguiente forma:

$$\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=x_2\left(-1,1,0,0\right)+x_4\left(-1,0,1,1\right)+\left(3,0,2,0\right)$$

Dejamos a cargo del lector comprobar que:

• $\left(3,0,2,0\right)$ es solución del sistema


• $\left(-1,1,0,0\right)\mathrm{y}\left(-1,0,1,1\right)$ son soluciones del sistema homogéneo asociado $AX=0$

$$S=S_h+X_p$$