Ejemplo 1

Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector $\vec{n} = (3, 2, 1)$ que pasa por el punto $P_{0} (1, 1, - 1)$ .

Las componentes de $\vec{n}$ nos indican los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ de la ecuación del plano:

$π : 3 x + 2 y + z + d = 0$

¿Cómo hallamos $d$ ?

El punto debe verificar la ecuación, entonces reemplazamos $P_{0}$ y obtenemos el coeficiente que faltaba:

$3.1 + 2.1 - 1 + d = 0 \Rightarrow d = - 4$

Así obtenemos la ecuación del plano:

$π : 3 x + 2 y + z - 4 = 0$

Éste es el único plano que pasa por el punto $P_{0}$ y es perpendicular al vector $\vec{n}$ .

Para efectuar un gráfico aproximado del plano que obtuvimos, podemos buscar sus intersecciones con los ejes coordenados:

Para hallar la intersección con el eje $x$ , debemos plantear $y = z = 0$ y despejar el valor de $x$ . Análogamente para las otras intersecciones, tal como se muestra en el siguiente cuadro:

Tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene.
Trazamos los segmentos que unen los puntos hallados y obtenemos la representación gráfica de una porción del plano:

Mostramos una gráfica del plano realizada con GeoGebra:

Ejemplo 2

Dados los puntos $R (1, 2, 3)$ y $S (3, - 1, 2)$ , encontrar la ecuación del plano que corta perpendicularmente al segmento $R S$ en su punto medio.

Resolución

Busquemos las coordenadas del punto medio:

$M = (\frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + (- 1)}{2}, \frac{3 + 2}{2}) = (2, \frac{1}{2}, \frac{5}{2})$

Como el plano corta perpendicularmente al segmento $R S$ , podemos tomar $\vec{R S}$ como vector normal del plano:

$\vec{R S} = (2, - 3, - 1)$

Escribimos la ecuación del plano al que llamaremos $β$ :

$β : 2 x - 3 y - 1 z + d = 0$

Para hallar $d$ reemplazamos el punto $M$ :

$2.2 - 3. \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + d = 0 \Rightarrow d = 0$

Y así obtenemos la ecuación buscada:

$β : 2 x - 3 y - z = 0$

Este plano pasa por el origen, o sea que interseca a los tres ejes en $(0, 0, 0)$ . Necesitamos al menos dos puntos más para graficarlo.

Para facilitar el gráfico podemos elegir puntos que estén sobre los planos coordenados. Por ejemplo $y = 0$ :

$\Rightarrow 2 x - z = 0 \Rightarrow z = 2 x$

Entonces haciendo $x = 1$ debe ser $z = 2$ , y obtenemos el punto $P_{1} (1, 0, 2)$

Para tomar otro punto del plano podemos hacer que $z = 0$

$\Rightarrow 2 x - 3 y = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3} x$

Y si $x = 3$ entonces $y = 2$ . Obtenemos el punto $P_{2} (3, 2, 0)$

Entonces $β$ contiene a los puntos $(0, 0, 0), (1, 0, 2)$ y $(3, 2, 0)$ :

Ejemplo 3

Dados $A (4, 5, 2), B (1, 3, 4), C (2, 2, 5)$ hallar, si es posible, el plano que contiene a los tres puntos.

Habíamos dicho que tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene.

Hagamos una figura de análisis:

Con los tres puntos, podemos armar dos vectores, por ejemplo:

$\vec{A B} = (- 3, - 2, 2)$

$\vec{A C} = (- 2, - 3, 3)$

El vector normal debe ser perpendicular a ambos vectores cómo muestra la siguiente figura:

¿Qué operación nos permite hallar un vector perpendicular a otros dos?

$\vec{A B} \times \vec{A C} = (0, 5, 5)$

¿Qué resultado habríamos obtenido si $A$ , $B$ y $C$ estuvieran alineados?

El vector $(0, 5, 5)$ es perpendicular al plano que buscamos, entonces podemos tomar $\vec{n} = (0, 5, 5)$ y escribir la ecuación del plano:

$α : 5 y + 5 z + d = 0$

Para hallar $d$ podemos reemplazar cualquiera de los tres puntos. Reemplacemos $A$ :

$5.5 + 5.2 + d = 0 \Rightarrow d = - 35$

Luego:

$5 y + 5 z - 35 = 0$

Podemos dividir por 5 ambos miembros:

$α : y + z - 7 = 0$

El lector puede comprobar que los puntos $B$ y $C$ verifican esta ecuación.

Busquemos las intersecciones con los ejes para graficar el plano:

$y = z = 0 \Rightarrow - 7 = 0 A b s u r d o$

Entonces $α$ no corta al eje $x$ .

¿En qué punto corta al eje $y$ ? $(0, 7, 0)$

¿Y al eje $z$ ? $(0, 0, 7)$

Observemos que el plano contiene a todos los puntos de la forma $(x, 7, 0)$ con $x \in R .$

Lo mismo ocurre con los puntos del tipo $(x, 0, 7)$ con $x \in R .$

Podemos observar entonces que:

$a = 0 \Rightarrow e l p l a n o e s ∥ a l e j e x$