Ejemplo

Consideremos el siguiente ejemplo:

r : {\begin{matrix} x + y + z + 1 = 0 π_{1} \\ x - y - z + 2 = 0 π_{2} \end{matrix}

Éste es un sistema de 2x3 (de 2 ecuaciones con 3 incógnitas) cuyo conjunto solución es la recta $r$ .

¿Cómo podemos hallar un vector director de la recta y un punto de la misma?

Para obtener $\vec{v}$ , debe tenerse en cuenta que:

Por lo tanto $\vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}}$ es un vector paralelo a $r .$ Así encontramos un vector director de $r$ :

$\vec{v} = \vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}} = (0, 2, - 2)$

Para hallar un punto $P_{0} \in r$ , podemos fijar el valor de una de las variables en el sistema de ecuaciones que define a la recta, por ejemplo fijemos arbitrariamente $z = 0$

Reemplazando en el sistema, nos queda:
${\begin{matrix} x + y + 1 = 0 \\ x - y + 2 = 0 \end{matrix} s i s t e m a 2 \times 2$

Resolviendo este sistema, obtenemos: $x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}$ por lo cual un punto de la recta es $P_{0} (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ .

Con la información obtenida, estamos en condiciones de escribir la ecuación vectorial de la recta:

$r : (x, y, z) = (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0) + λ (0, 2, - 2), λ \in R$

Observación: Si para buscar un punto de la recta fijáramos $x = 0$ (en lugar de $z = 0$ ), nos quedaría el siguiente sistema: ${\begin{matrix} y + z + 1 = 0 \\ - y - z + 2 = 0 \end{matrix}$ que es incompatible.

¿Por qué se produce esta incompatibilidad? Porque no hay ningún punto de la recta en el plano $x = 0$ , o sea la recta no interseca al plano $x = 0$ .

En resumen:

Dada una recta $r : {\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0 \end{matrix}$

podemos obtener un vector director calculando el producto vectorial $\vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}}$ .

Para obtener un punto de la recta, fijamos arbitrariamente el valor de una de las variables y resolvemos el sistema 2×2 resultante.

Ejemplo

Retomemos el ejemplo anterior:

$r : {\begin{matrix} x + y + z + 1 = 0 π_{1} \\ x - y - z + 2 = 0 π_{2} \end{matrix}$

Otra forma de obtener la ecuación vectorial de la recta es resolver el sistema de ecuaciones que la define.

Escribimos la matriz ampliada asociada al sistema:

Aplicamos operaciones elementales entre filas para resolver el sistema de ecuaciones:

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & - 2 \end{matrix}) \underset{F_{2} \to F_{2} - F_{1}}{\to} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & - 2 & - 1 \end{matrix})$

$\underset{F_{2} \to - \frac{1}{2} F_{2}}{\to} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0, 5 \end{matrix}) \underset{F_{1} \to F_{1} - F_{2}}{\to} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1, 5 \\ 0 & 1 & 1 & 0, 5 \end{matrix})$

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1, 5 \\ 0 & 1 & 1 & 0, 5 \end{matrix})$

Y ahora escribimos el sistema simplificado:

${\begin{matrix} x = - 1, 5 \\ y + z = 0, 5 \end{matrix}$

O sea:

${\begin{matrix} x = - 1, 5 \\ y = 0, 5 - z \end{matrix}$

Entonces el conjunto solución se puede expresar así:

$S = {(x, y, z) \in R^{3} | x = - 1, 5 \land y = 0, 5 - z}$

Y podemos escribir la ecuación vectorial de la recta $r$ :

$(x, y, z) = (- 1, 5; 0, 5 - z; z)$

Llamando $z = λ$ , resulta:

$r : (x, y, z) = (- 1, 5; 0, 5; 0) + λ (0, - 1, 1), λ \in R$