Ejemplo

Consideremos el siguiente ejemplo:

Éste es un sistema de 2x3 (de 2 ecuaciones con 3 incógnitas) cuyo conjunto solución es la recta \(r\).

¿Cómo podemos hallar un vector director de la recta y un punto de la misma?

Para obtener \(\vec v\) , debe tenerse en cuenta que:

Por lo tanto \(\;\overrightarrow {{n_1}} \times \overrightarrow {{n_2}} \;\) es un vector paralelo a \(\,r.\;\) Así encontramos un vector director de \(\,r\):

\[\vec v = \overrightarrow {{n_1}} \times \overrightarrow {{n_2}} = \left( {0,2, - 2} \right)\]

Para hallar un punto \({P_0} \in r\) , podemos fijar el valor de una de las variables en el sistema de ecuaciones que define a la recta, por ejemplo fijemos arbitrariamente \(z = 0\)

Reemplazando en el sistema, nos queda:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\;x - y + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.sistema\;2×2\]

Resolviendo este sistema, obtenemos: \(\:x = - \;\dfrac{3}{2},\;\;\;y = \;\dfrac{1}{2}\;\) por lo cual un punto de la recta es \(\,{P_0}\;\left( { - \;\dfrac{3}{2}\;,\;\dfrac{1}{2},\;0} \right)\).

Con la información obtenida, estamos en condiciones de escribir la ecuación vectorial de la recta:

\[r:\left( {x,y,z} \right) = \left( { - \;\frac{3}{2}\;,\;\frac{1}{2},\;0} \right) + \lambda \left( {0,2, - 2} \right),\;\;\;\lambda \; \in R\]

Observación: Si para buscar un punto de la recta fijáramos \(\,x = 0\) (en lugar de \(z = 0\)), nos quedaría el siguiente sistema: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y + z + 1 = 0}\\{\; - y - z + 2 = 0\;}\end{array}}\right.\;\)que es incompatible.

¿Por qué se produce esta incompatibilidad? Porque no hay ningún punto de la recta en el plano \(\,x = 0\), o sea la recta no interseca al plano \(x = 0\).

En resumen:

Dada una recta \(r:\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0}\\{\;{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\)

podemos obtener un vector director calculando el producto vectorial \(\;\overrightarrow {{n_1}} \; \times \overrightarrow {{n_2}} \) .

Para obtener un punto de la recta, fijamos arbitrariamente el valor de una de las variables y resolvemos el sistema 2×2 resultante.

Ejemplo

Retomemos el ejemplo anterior:

\[r:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + z + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _1}}\\{\;x - y - z + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _2}}\end{array}} \right.\]

Otra forma de obtener la ecuación vectorial de la recta es resolver el sistema de ecuaciones que la define.

Escribimos la matriz ampliada asociada al sistema:

Aplicamos operaciones elementales entre filas para resolver el sistema de ecuaciones:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ - 1}\\1&{ - 1}&{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_2} \; \to \;{F_2} \; - \; {F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ - 1}\\0&{ - 2}&{ - 2}&{ - 1}\end{array}} \right)\]

\[\mathop \to \limits_{{F_2} \; \to \; - \, \frac{1}{2}{F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ - 1}\\0&1&1&{0,5}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_1} \; \to \; {F_1} \; - \;{F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&{ - 1,5}\\0&1&1&{0,5}\end{array}} \right)\]

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&{ - 1,5}\\0&1&1&{0,5}\end{array}} \right)\]

Y ahora escribimos el sistema simplificado:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1,5}\\{y + z = 0,5}\end{array}\;} \right.\]

O sea:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1,5}\\{y = 0,5 - z}\end{array}\;} \right.\]

Entonces el conjunto solución se puede expresar así:

\[S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}\;|\;\;x = - 1,5\;\; \wedge \;\;y = 0,5 - z} \right\}\]

Y podemos escribir la ecuación vectorial de la recta \(r\):

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { - 1,5;\;\;0,5 - z;\;\;z} \right)\]

Llamando \(z = \lambda \) , resulta:

\[r:\;\;\left( {x,y,z} \right) = \left( { - 1,5;\;0,5;\;0} \right) + \lambda \;\left( {0, - 1,1} \right),\;\;\;\lambda \in \mathbb{R}\]