Ejemplo 1

¿Es el conjunto $A=\left\{\left(1,1,0\right),\left(2,-1,1\right),\left(0,1,0\right)\right\}$ base de ${\mathbb{R}}^3$?

Cómo $\dim \left({\mathbb{R}}^3\right)=3$ y $A$ tiene tres vectores, entonces por la propiedad 1, es suficiente probar que $A$ es LI para asegurar que es una base de ${\mathbb{R}}^3$.

En ${\mathbb{R}}^3$, tres vectores $v_1,v_2,v_3$ son LD si y sólo si están situados en el mismo plano que pasa por el origen (vectores coplanares). Veamos si son coplanares haciendo el producto mixto:

No son coplanares, por lo tanto son L.I.

Luego $A$ es base de ${\mathbb{R}}^3$.

Ejemplo 2

$$C=\left\{1+x+x^2;3-x;2+k{x}^2\right\}\subset P_2$$

Determinar todos los $k\in \mathbb{R}$ tales que $C$ sea una base de $P_2$.

$\dim \left(P_2\right)=3$ $\Rightarrow$ Todo conjunto de tres vectores L.I. en $P_2$ es base.

$$\alpha \left(1+x+x^2\right)+\beta \left(3-x\right)+\gamma \left(2+k{x}^2\right)=0_{P_2}$$

Igualando coeficientes, resulta:

Como es un sistema homogéneo, siempre tiene solución. ¿Buscamos que tenga solución única, o infinitas?

Buscamos los valores de $k$ para que la única solución sea la trivial: $\alpha =\beta =\gamma =0$.

Habíamos visto que en los sistemas cuadrados homogéneos, el determinante de la matriz de coeficientes permite decidir si son SCD o SCI.

En este caso, $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& k\end{array}\right)$ y $det\left(A\right)=2-4k$

Si $k=\frac{1}{2}$ el sistema queda compatible indeterminado.

Para cualquier $k\ne \frac{1}{2}$ el sistema es compatible determinado, por lo tanto $\left\{1+x+x^2;3-x;2+k{x}^2\right\}$ es LI, y entonces es base de $P_2$.

Ejemplo 3

Dado $A=\left\{v_1,v_2,v_3,v_4\right\}\subset {\mathbb{R}}^3$ puede afirmarse que este conjunto es LD. Si hubiera tres vectores LI, éstos formarían una base de ${\mathbb{R}}^3$ y por lo tanto el vector restante podría expresarse como combinación lineal de ellos.

Ejemplo 4

El conjunto $\left\{u=\left(1,2,3\right),v=\left(1,1,0\right)\right\}$ es LI en ${\mathbb{R}}^3$ pero no genera todo ${\mathbb{R}}^3$ sino que genera un plano. Podemos extenderlo a una base agregando algún vector LI, podría ser por ejemplo el producto vectorial entre estos dos. Obtenemos $\left\{u,v,u\times v\right\}$ que es una base de ${\mathbb{R}}^3$.