Ejemplo 1

¿Es el conjunto $\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\right\}$ linealmente independiente (LI) o linealmente dependiente (LD)?

Planteamos la ecuación:

$${\alpha }_1\left(1,1\right)+{\alpha }_2\left(1,-1\right)=\left(0,0\right)$$

$$\{\begin{array}{c}{\alpha }_1+{\alpha }_2=0\\ {\alpha }_1-{\alpha }_2=0\end{array}\Rightarrow {\alpha }_1=0\wedge {\alpha }_2=0$$

Luego el conjunto es linealmente independiente (LI).

Ejemplo 2

¿Es el conjunto $\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right),\left(2,0\right)\right\}$ LI o LD?

Planteamos un sistema de ecuaciones. Nos interesa saber si tiene solución única o infinitas soluciones:

$$\alpha \left(1,1\right)+\beta \left(1,-1\right)+\gamma \left(2,0\right)=\left(0,0\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}0=\alpha +\beta +2\gamma \\ 0=\alpha -\beta \end{array}$$

Veamos cómo es la resolución por el método de Gauss:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 0\\ 1& -1& 0& 0\end{array}\right)\underset{F_2\to F_1-F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 0\\ 0& –2& -2& 0\end{array}\right)\underset{F_2\to -\frac{1}{2}.F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 0\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$

$$\{\begin{array}{c}\alpha +\beta +2\gamma =0\\ \beta +\gamma =0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\alpha =-\gamma \\ \beta =-\gamma \end{array}$$

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, o sea tiene infinitas soluciones. Luego, el conjunto es LD.

Notemos que también se cumple la forma alternativa de caracterizar la dependencia lineal, pues es posible escribir $\left(2,0\right)$ como combinación lineal de $\left(1,1\right)$ y $\left(1,-1\right)$:

$$\left(1,1\right)+\left(1,-1\right)=\left(2,0\right)$$

Ejemplo 3

¿Es el conjunto $\left\{\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(1,1,1\right)\right\}$ LI o LD?

$$\alpha \left(1,0,0\right)+\beta \left(0,1,0\right)+\gamma \left(1,1,1\right)=\left(0,0,0\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}0=\alpha +\gamma \\ 0=\beta +\gamma \\ 0=\gamma \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\alpha =0\\ \beta =0\\ \gamma =0\end{array}$$

Como el sistema es compatible determinado, el conjunto es LI.

Ejemplo 4

¿Es el conjunto $\left\{\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right)\right\}$ LI o LD?

$$\alpha \left(1,0,0\right)+\beta \left(0,1,0\right)=\left(0,0,0\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}\alpha =0\\ \beta =0\end{array}$$

Como el sistema tiene solución única el conjunto es LI.

Ejemplo 5

¿Es el conjunto $\left\{x,-x^2,4x^2-x\right\}$ LI o LD?

$${\alpha }_1\left(x\right)+{\alpha }_2\left(-x^2\right)+{\alpha }_3\left(4x^2-x\right)=0x^2+0x+0$$

$$\{\begin{array}{c}-{\alpha }_2+4{\alpha }_3=0\\ {\alpha }_1-{\alpha }_3=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\alpha }_2=4{\alpha }_3\\ {\alpha }_1={\alpha }_3\end{array}$$

El sistema es compatible indeterminado. Luego el conjunto es LD.

Notemos que es posible escribir $4x^2-x$ cómo combinación lineal de $x$ y de $-x^2$:

$$\left(-1\right)\left(x\right)+\left(-4\right)\left(-x^2\right)=4x^2-x$$