Ejemplo 1

¿Es el conjunto $\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\right\}$ generador de ${\mathbb{R}}^2$?

Siguiendo la definición, debemos ver si cualquier vector de ${\mathbb{R}}^2$ puede expresarse como combinación lineal de $\left(1,1\right),\left(1,-1\right)$:

$$\left(x,y\right)=\alpha \left(1,1\right)+\beta \left(1,-1\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=\alpha +\beta \\ y=\alpha -\beta \end{array}\Rightarrow \alpha =\frac{x+y}{2},\beta =\frac{x-y}{2}$$

Hemos llegado a un sistema compatible determinado. Para cada $x$ e $y$ se obtrendrá un valor para $\alpha$ y para $\beta$.

Entonces, como cualquier vector $\left(x,y\right)$ de ${\mathbb{R}}^2$ puede expresarse como combinación lineal de $\left(1,1\right),\left(1,-1\right)$, decimos que $\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\right\}$ es un conjunto generador de ${\mathbb{R}}^2$.

Ejemplo 2

¿Es el conjunto $\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right),\left(2,0\right)\right\}$ generador de ${\mathbb{R}}^2$?

Otra vez planteamos un sistema de ecuaciones. Nos interesa saber si tiene solución o no:

$$\left(x,y\right)=\alpha \left(1,1\right)+\beta \left(1,-1\right)+\gamma \left(2,0\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=\alpha +\beta +2\gamma \\ y=\alpha -\beta \end{array}$$

Veamos cómo es la resolución por el método de Gauss:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& x\\ 1& -1& 0& y\end{array}\right)\underset{F_2\to F_2-F_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& x\\ 0& -2& -2& y-x\end{array}\right)\underset{F_2\to -\frac{1}{2}.F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& x\\ 0& 1& 1& \frac{x-y}{2}\end{array}\right)$$

$$\{\begin{array}{c}\alpha +\beta +2\gamma =x\\ \beta +\gamma =\frac{x-y}{2}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\alpha =-\gamma +\frac{x+y}{2}\\ \beta =\frac{x-y}{2}-\gamma \end{array}$$

Para cada $\left(x,y\right)$ en ${\mathbb{R}}^2$ , el sistema es compatible (indeterminado). Entonces $\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right),\left(2,0\right)\right\}$ también genera ${\mathbb{R}}^2$.

Ejemplo 3

¿Es el conjunto $\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(1,1,1\right)$ generador de ${\mathbb{R}}^3$?

$$\left(x,y,z\right)=\alpha \left(1,0,0\right)+\beta \left(0,1,0\right)+\gamma \left(1,1,1\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=\alpha +\gamma \\ y=\beta +\gamma \\ z=\gamma \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\alpha =x-z\\ \beta =y-z\\ \gamma =z\end{array}$$

Como el sistema es compatible (determinado), podemos afirmar que el conjunto $\left\{\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(1,1,1\right)\right\}$ genera ${\mathbb{R}}^3$.

Ejemplo 4

¿Qué vectores pueden expresarse como combinación lineal del $\left(1,0\right)$?

Los vectores de la forma $\left(x,0\right)$. Entonces el vector $\left(1,0\right)$ no genera todo ${\mathbb{R}}^2$, pero genera la recta $y=0$.

Ejemplo 5

¿Qué vectores pueden expresarse como combinación lineal de $\left(1,0,0\right)$ y $\left(0,1,0\right)$?

$$\left(x,y,z\right)=\alpha \left(1,0,0\right)+\beta \left(0,1,0\right)=\left(\alpha ,\beta ,0\right)$$

Es decir todos los vectores con componente $z=0$. Entonces $\left(1,0,0\right)$ y $\left(0,1,0\right)$ no generan ${\mathbb{R}}^3$ sino el plano $z=0$.