Ejemplo 1

Retomemos el sistema de ecuaciones anterior para analizar su compatibilidad:

$$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_4=3\\ x_3-x_4=2\\ x_1+x_2-x_3+2x_4=0\end{array}$$

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 1& 3\\ 0& 0& 1& -1& 2\\ 1& 1& -1& 2& 0\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-F_1}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 1& 3\\ 0& 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& -1& 1& -3\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3+F_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 1& 3\\ 0& 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$

$$rg\left(A\right)=2\mathrm{y}rg\left(A^{\prime }\right)=3\Rightarrow \mathrm{E}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$$

Ejemplo 2

Si cambiamos el término independiente de la tercera ecuación como sigue:

$$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_4=3\\ x_3-x_4=2\\ x_1+x_2-x_3+2x_4=1\end{array}$$

El sistema resulta compatible porque:

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 1& 3\\ 0& 0& 1& -1& 2\\ 1& 1& -1& 2& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 1& 3\\ 0& 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& -1& 1& -2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 1& 3\\ 0& 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

$$rg\left(A\right)=rg\left(A^{\prime }\right)=2\Rightarrow \mathrm{E}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$$

De acuerdo con la matriz escalonada el sistema se expresa cómo sigue:

$$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_4=3\\ x_3-x_4=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_3=2+x_4\\ x_1=3-x_4-x_2\end{array}\mathrm{\forall }{x}_2,x_4\in \mathbb{R}$$

$x_2,x_4$ son las variables libres.

El conjunto solución es:

$$S=\left\{\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(3-x_4-x_2,x_2,2+x_4,x_4\right),\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}{x}_2,x_4\in \mathbb{R}\right\}$$

Observación sobre la notación: Si expresamos el sistema de ecuaciones como $AX=B$ con $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ , el conjunto solución está incluido en ${\mathbb{R}}^{n\times 1}$ y deberíamos escribirlo en forma de columna. En este caso deberíamos escribir:

$$S=\left\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \begin{array}{c}{x}_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-x_4-x_2\\ \begin{array}{c}{x}_2\\ 2+x_4\\ x_4\end{array}\end{array}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}{x}_2,x_4\in \mathbb{R}\right\}$$

Pero por motivos de simplicidad en la escritura muchas veces utilizaremos la notación de filas en lugar de la de columnas.