Ejemplo 1

Una matriz escalonada por filas es:

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Para determinar el rango contamos el número de filas no nulas (número de pivotes):

$$rg\left(M\right)=2$$

Ejemplo 2

Consideremos la matriz:

$$N=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Como es escalonada por filas, contamos la cantidad de filas no nulas para hallar el rango:

$$rg\left(N\right)=3$$

Se puede confundir una matriz escalonada con una matriz triangular, como veremos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3

Consideremos la matriz:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

Observamos que $A$ es triangular (los elementos debajo de la diagonal principal son ceros) pero no está escalonada.

Mediante la operación elemental $F_3\to F_3-2F_2,$ obtenemos una matriz escalonada equivalente:

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

De donde se deduce que $rg\left(A\right)=rg\left(B\right)=2$

Ejemplo 4

Retomemos la matriz:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& –1\\ 1& 1& -1& 2\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& –1\\ 1& 1& -1& 2\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-F_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& -1& 1\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3+F_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

$$rg\left(A\right)=2$$

Entonces una base del espacio fila es:

$$B_{Fil\left(A\right)}=\left\{F_1,F_2\right\}$$

Como la dimensión del espacio columna es la misma que la dimensión del espacio fila, sabemos que $A$ tiene dos columnas LI. Por lo tanto una base de $Col\left(A\right)$ es:

$$B_{Col\left(A\right)}=\left\{A_1,A_3\right\}$$