Ejercicio 1

Sean,

$$B=\left\{\left(1,0,0\right),\left(1,1,0\right),\left(2,2,1\right)\right\}basede{\mathbb{R}}^3$$

$$u=\left(-1,4,3\right)$$

a) Hallar:

• ${\left[u\right]}_B$ , coordenadas del vector $u$ en la base $B$
• ${\left[u\right]}_E$ , coordenadas del vector $u$ en la base canónica

b) Sabiendo que:

$${\left[v\right]}_B=\left(\begin{array}{c}3\\ \begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\end{array}\right)$$

Hallar $v$.

Resolución

Ítem a

$$\alpha \left(1,0,0\right)+\beta \left(1,1,0\right)+\gamma \left(2,2,1\right)=\left(-1,4,3\right)$$

$$\{\begin{array}{c}\alpha +\beta +2\gamma =-1\\ \beta +2\gamma =4\\ \gamma =3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\alpha =-5\\ \beta =-2\\ \gamma =3\end{array}$$

Estos escalares son las coordenadas de $u$ es la base $B$:

$${\left[u\right]}_B=\left(\begin{array}{c}-5\\ \begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\end{array}\right)$$

En el caso de la base canónica, las coordenadas del vector coinciden con sus componentes, ya que:

$$\left(x,y,z\right)=x\left(1,0,0\right)+y\left(0,1,0\right)+z\left(0,0,1\right)$$

Entonces:

$${\left[u\right]}_E=\left(\begin{array}{c}-1\\ \begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\end{array}\right)$$

Ítem b

Dadas una base y las coordenadas de un vector en esa base, podemos hallar el vector:

$$v=3\left(1,0,0\right)+1\left(1,1,0\right)+2\left(2,2,1\right)=\left(8,5,2\right)$$

Observación: Las bases son conjuntos ordenados. O sea, si reordenamos los vectores de una base, obtenemos una base diferente. Así:

$B=\left\{\left(1,0,0\right),\left(1,1,0\right),\left(2,2,1\right)\right\}$ y $B^{\prime }=\left\{\left(2,2,1\right),\left(1,0,0\right),\left(1,1,0\right)\right\}$ son bases distintas de ${\mathbb{R}}^3$.

¿Por qué son distintas? Porque las coordenadas de un vector cambian si se reordena la base. Por ejemplo para $u=\left(-1,4,3\right)$ las coordenadas en cada base son:

$${\left[u\right]}_B=\left(\begin{array}{c}–5\\ \begin{array}{c}–2\\ 3\end{array}\end{array}\right)y{\left[u\right]}_{B^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}3\\ \begin{array}{c}-5\\ -2\end{array}\end{array}\right)$$

Ejercicio 2

Dados los vectores de ${\mathbb{R}}^2$, y sus coordenadas en la base $B$:

$$u=\left(5,2\right),v=\left(7,1\right)$$

$${\left[u\right]}_B=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right),{\left[v\right]}_B=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$$

Hallar, si es posible, la base $B$.

Resolución

Una base $B$ de ${\mathbb{R}}^2$ tiene dos vectores:

$$B=\left\{v_1,v_2\right\}$$

$${\left[u\right]}_B=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\Rightarrow 3v_1+2v_2=\left(5,2\right)$$

$${\left[v\right]}_B=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\Rightarrow 5v_1+3v_2=\left(7,1\right)$$

Entonces podemos resolverlo como un sistema de ecuaciones vectorial:

$$\{\begin{array}{c}3v_1+2v_2=\left(5,2\right)\\ 5v_1+3v_2=\left(7,1\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}15v_1+10v_2=\left(25,10\right)\\ 15v_1+9v_2=\left(21,3\right)\end{array}$$

Restando las ecuaciones, se obtiene:

$$v_2=\left(4,7\right)$$

Sustituyendo y despejando, resulta: $v_1=\left(–1,–4\right)$.

Entonces

$$B=\left\{\left(–1,–4\right),\left(4,7\right)\right\}$$