Ejemplo 1

Hallar la intersección entre las rectas:

$$r_1:\left(x,y,z\right)=\left(-2,1,3\right)+\alpha \left(1,4,5\right)$$

$$r_2:\left(x,y,z\right)=\left(1,0,-2\right)+\beta \left(0,3,-1\right)$$

Para buscar la intersección, escribimos las ecuaciones paramétricas de las rectas y luego igualamos:

$$r_1:\{\begin{array}{c}x=-2+\alpha \\ y=1+4\alpha \\ z=3+5\alpha \end{array},r_2:\{\begin{array}{c}x=1\\ y=3\beta \\ z=-2-\beta \end{array}$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}-2+\alpha =1\\ 1+4\alpha =3\beta \\ 3+5\alpha =-2-\beta \end{array}$$

Nos queda un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas.

De la primera ecuación se obtiene: $\alpha =3$

Reemplazando $\alpha =3$ en la segunda ecuación, resulta: $\beta ={\displaystyle \frac{13}{3}}$

Pero si sustituimos ambos valores en la tercera ecuación:

$$3+5.3=-2-\frac{13}{3}$$

$$18=-\frac{19}{3}$$

Como esto es falso, el sistema es incompatible. Habíamos descartado paralelismo, por lo tanto podemos afirmar que las rectas son alabeadas.

Observación: Los sistemas que tienen más ecuaciones que incógnitas se denominan sobredeterminados y en general son incompatibles.

Ejemplo 2

Hallar la intersección entre las rectas:

$$r_1:\left(x,y,z\right)=\lambda \left(1,0,1\right)$$

$$r_2:\left(x,y,z\right)=\beta \left(-1,1,0\right)+\left(0,1,1\right)$$

Observemos que los vectores directores de las rectas no son paralelos, luego las rectas no pueden ser paralelas. Podrían intersecarse o ser alabeadas.

Escribimos las ecuaciones paramétricas de las rectas e igualamos:

$$r_1:\{\begin{array}{c}x=\lambda \\ y=0\\ z=\lambda \end{array},r_2:\{\begin{array}{c}x=-\beta \\ y=\beta +1\\ z=1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}\lambda =-\beta \\ 0=\beta +1\\ \lambda =1\end{array}\Rightarrow \lambda =1\wedge \beta =-1$$

Como el sistema tiene solución, podemos afirmar que las rectas se intersecan, o sea son concurrentes. Para averiguar en qué punto se cortan, podemos reemplazar $\lambda =1$ en las ecuaciones paramétricas de $r_1$ o $\beta =-1$ en las ecuaciones paramétricas de $r_2$. Así obtenemos el punto de intersección $P\left(1,0,1\right).$

Observación: En este ejemplo, las rectas se cortan en el punto $P\left(1,0,1\right)$. En $r_1$, el punto $P$ se corresponde con $\lambda =1$. En cambio en $r_2$, $P$ se corresponde con $\beta =-1$. Por lo tanto, cuando buscamos la intersección entre dos rectas debemos utilizar letras diferentes para indicar los respectivos parámetros. Noten que si hubiéramos utilizado el parámetro $\lambda$ para las dos rectas, habríamos obtenido un absurdo: $\lambda =1y\lambda =-1$ y esto nos habría inducido a error.