Ejemplo 1

Existen diferentes bases para un mismo espacio vectorial. Consideremos en ${\mathbb{R}}^2$ el conjunto:
$$B=\left\{\left(1,0\right),\left(1,1\right)\right\}$$

Es fácil ver que $B$ es linealmente independiente (sólo la combinación lineal trivial produce el vector nulo). Nos falta probar que genera ${\mathbb{R}}^2$.

$$\left(x,y\right)=\alpha \left(1,0\right)+\beta \left(1,1\right)$$

$$\{\begin{array}{c}\alpha +\beta =x\\ \beta =y\end{array}\Rightarrow \alpha =x–y\wedge \beta =y$$

Para cualquier $\left(x,y\right)$ en ${\mathbb{R}}^2$ es posible encontrar los escalares $\alpha$ y $\beta$. Probamos que $B$ genera ${\mathbb{R}}^2$.

Entonces $B=\left\{\left(1,0\right),\left(1,1\right)\right\}$ es una base de ${\mathbb{R}}^2$.

Ejemplo 2

Hemos visto en ejemplos anteriores que el conjunto $\left\{\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(1,1,1\right)\right\}$ genera ${\mathbb{R}}^3$, y que son vectores LI. Por lo tanto es una base de ${\mathbb{R}}^3$.

Ejemplo 3

Veamos que el conjunto $B=\left\{1,1+x,1+x^2\right\}$ es una base de $P_2$.

Para esto debemos probar las dos condiciones.

Probemos que $B$ es LI:

$$0+0x+0x^2=\alpha 1+\beta \left(1+x\right)+\gamma \left(1+x^2\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}\alpha +\beta +\gamma =0\\ \beta =0\\ \gamma =0\end{array}\Rightarrow \alpha =\beta =\gamma =0$$

Cómo la única solución es la trivial, entonces el conjunto es LI.

Probemos que genera $P_2$:

$$a+bx+c{x}^2=\alpha 1+\beta \left(1+x\right)+\gamma \left(1+x^2\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}\alpha +\beta +\gamma =a\\ \beta =b\\ \gamma =c\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\alpha =a–b–c\\ \beta =b\\ \gamma =c\end{array}$$

El sistema es compatible. Entonces para cualquier polinomio en $P_2$ es posible hallar los escalares $\alpha ,\beta ,\gamma$. Luego $B$ genera $P_2$.