Un sistema en el que todos los términos independientes son cero se llama homogéneo.

Estos sistemas siempre tienen la solución x₁ = x₂ = ... = x_n = 0, llamada solución trivial o impropia.

Atendiendo al número de soluciones los sistemas de ecuaciones pueden ser:

• Compatibles: Con solución.
• Compatible determinado: Solución única.
• Compatible indeterminado: Más de una solución (lo que equivale a que habría infinitas soluciones).
• Incompatibles: Sin solución.

Dos sistemas con las mismas incógnitas se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Las siguientes transformaciones en un sistema dan lugar a otro equivalente:

• Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema.
• Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un número distinto de 0.
• Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las otras.
• Sustituir una ecuación por una combinación lineal de ella y de las otras.

Resolver un sistema por el método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente escalonado, de fácil resolución, aplicando las transformaciones anteriormente citadas. Para facilitar los cálculos, se trabaja matricialmente, utilizando la matriz de los coeficientes A, a la que se añade la columna de los términos independientes, definiendo la llamada matriz ampliada o aumentada, A' = [A | B].

Un sistema de ecuaciones está escalonado si su matriz ampliada está en forma escalonada. Definimos la forma escalonada de una matriz si cumple dos condiciones:

• La/s fila/s nulas están en la parte inferior de la matriz.
• Un elemento principal (o pivot) de una fila es el primer número distinto de cero (comenzando desde la izquierda). El pivot de una fila debe estar en una columna más a la derecha que los pivots de las filas superiores.

Por este método también podemos clasificar al sistema. Una vez escalonado el mismo y eliminadas las ecuaciones de la forma 0 = 0, pueden darse distintas situaciones:

• Si aparece alguna ecuación de la forma 0 = k, el sistema es incompatible.
• No aparecen ecuaciones de la forma 0 = k, el sistema es compatible
• Determinado si el número de ecuaciones y de incógnitas es igual.
• Indeterminado si el número de ecuaciones es menor que el de incógnitas

Podemos considerar la expresión matricial de un sistema cuadrado de ecuaciones lineales, A . X = B, como una ecuación matricial que resolvemos despejando X siempre que sea posible, esto es si la matriz de los coeficientes es cuadrada y tiene inversa.

A · X = B   ⇒   A^-1· A · X = A^-1· B   ⇒   I_n· X = A^-1· B   ⇒   X = A^-1· B

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, en el que A es la matriz de los coeficientes y A' la matriz ampliada, tenemos que:

El sistema es compatible  ⇔  r(A) = r(A')

Escribimos el sistema como se indica a continuación:

• Si el sistema es compatible, existe un conjunto de valores x₁, x₂, ... , x_n, solución del sistema, se cumple A₁x₁ + A₂x₂ + ... + A_nx_n = B, donde las A_i son las columnas de A. Luego B es combinación lineal de las columnas de A y por lo tanto r(A') = r(A).
• Si r(A) = r(A'), la columna formada por los términos independientes que las diferencia, será combinación lineal de las anteriores, A₁x₁ + A₂x₂ + ... + A_nx_n = B, luego (x₁, x₂, ... , x_n) es solución del sistema, que por tanto, es compatible.

Además si el sistema es compatible, tenemos que:

• Si r(A) = n  ⇒  el sistema es determinado.
• Si r(A) < n  ⇒  el sistema es indeterminado.
En efecto si r(A') = n, en A' hay n filas l. i. y por lo tanto n ecuaciones l. i. Tomando estas n ecuaciones tenemos un sistema con |A|≠ 0 (con solución única).