Partición de un cubo en pirámides triangulares por división de pirámides cuadradascuadarada. Caso general.

Título: Partición de un cubo en pirámides triangulares por división de pirámides cuadradas. Caso general.
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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La descomposición de un cubo en pirámides de base triangular surge de manera natural, y fácil, una vez que se han analizado las particiones de un cubo en pirámides de base cuadrada. Basta considerar una de las dos diagonales de dicha base cuadrada para que la pirámide quede partida en dos triangulares. Así pues, toda pirámide cuadrada puede subdividirse de dos formas diferentes en pirámides triangulares, sendas pirámides para sendas diagonales. No obstante, veremos que este procedimiento no conduce a la partición de cardinal mínimo, siendo necesario abordar un planteamiento constructivo independiente para lograrla. Este nuevo esquema nos conducirá a particiones que catalogaremos como no prismáticas o primásticas. Estas últimas serán objeto de un análisis específico en un tercer artículo relativo a este tema.

Particiones de un cubo en pirámides de base triangular 

1. Partición mediante descomposición de pirámides de base cuadrada

Si consideramos las diferentes particiones del cubo en pirámides cuadradas obtenidas en el artículo anterior entonces, automáticamente, son conocidas sendas particiones en pirámides triangulares sin más que considerar cada una de las dos diagonales del cuadrado que constituye la base en cada pirámide. Además, las dos subpirámides obtenidas serán equivalentes (con igual volumen), pues la base inicial cuadrada ha quedado dividida en dos partes iguales y la altura es común a ambas y, por tanto, el volumen de cada una de esas pirámides triangulares es la mitad del volumen inicial. En este contexto tendríamos las siguientes situaciones: 

  • Considerando la partición mínima del cubo en tres pirámides cuadradas obtendríamos una subpartición en seis pirámides triangulares equivalentes. Dado que cada una de esas pirámides cuadradas pueden dividirse de dos formas diferentes, según cual sea la diagonal del cuadrado que se considere, tendríamos a su vez varias posibilidades:
    • Si la diagonal que se considera conduce a dividir la pirámides cuadradas por su plano de simetría, entonces las seis pirámides son congruentes ya que hay tres coincidentes entre sí mediante traslación y giro (lo que de manera simplificada se suele indicar como iguales) y las otras tres son simétricas de las primeras ―denotaremos a una de las pirámides como tipo X1 y a su simétrica como X2―. la partición sería {X1, X2, X1, X2, X1, X2}  Este caso es el que usualmente puede encontrarse en las fuentes literarias clásicas y en la Web. Veremos que es una situación particular del estudio global, que abordaremos en otro articulo, correspondiente a lo que denominaremos particiones prismáticas porque agrupando esas pirámides de tres en tres el cubo queda descompuesto en dos prismas triangulares.
      Descomposición prismática del cubo en seis pirámides triangulares congruentes

      Escena 1. Partición prismática del cubo en seis pirámides triangulares congruentes
      (Haz clic en la imagen para acceder al recurso interactivo)


      Este proceso de división podría repetirse considerando la mediana de las nuevas bases y así obtendríamos una partición con doce pirámides equivalentes y dos familias de 6 pirámides congruentes entres sí; y con una nueva fracción por la mediana serían 24 pirámides equivalentes y 4 familias congruentes y, en general 3·2n pirámides equivalentes y 2n-1 familias de pirámides congruentes entre sí. Un entretenimiento teórico bonito, pero que físicamente su traslación a un contexto manipulativo rápidamente no es viable.

    • Si se considera la diagonal perpendicular al plano de simetría, cada pirámide cuadrada queda divida en dos pirámides equivalentes. La partición cuenta con dos tipos de pirámides que denotaremos como tipo Y (la que cuenta con un triedro trirrectángulo) y la otra que nombraremos tipo Z. La partición es {Y, Z, Y, Z, Y, Z}. Esta partición, a diferencia del caso anterior no es prismática.

      Partición no prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes

      Escena  2. Partición no prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes

    • Si se combinan las dos posibilidades anteriores se obtienen siempre seis pirámides equivalentes y habría dos posibilidades: {X1, X2, X1, X2, Y, Z} o {X1, Y, Z, X2, Y, Z}, siendo ambas también particiones prismáticas.
  • Análogamente, en el caso de hacer tambien sólo una subdivisión por cada pirámide cuadrada, la partición en cuatro pirámides cuadradas se convertiría en ocho triangulares, la de cinco en diez y la de seis en doce.

En la siguiente escena se aborda de manera general la partición del cubo en pirámides triangulares a partir de las particiones del mismo en pirámides cuadradas: 

Partición no prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes

Escena  3. Partición del cubo en pirámides triangulares por división de pirámides cuadradas. Caso general.

Todas las situaciones anteriores son, o pueden considerarse, interesantes y conducentes a puzles de cierta dificultad tanto en los casos en los que se busca la máxima congruencia o regularidad, como en la posición contraria. Pero ninguna de ellas conduce a la partición con cardinal mínimo, pues el planteamiento realizado viene condicionado por la partición previa en pirámides de base cuadrada. La partición mínima, como veremos en la próxima sección, se corresponde con cinco pirámides y salvo isometrías hay una única posibilidad para su construcción. Por ello, nuestro centro de interés se focalizará en la antes citada descomposición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes, que sin ser el caso único de cardinal mínimo sí que genera una variedad de situaciones que nos proponemos cuantificar y detallar.

2. Partición mediante construcción específica

En esta sección partiendo de un cubo de vértices {A, B, C, D, E, F, G, H}, nos planteamos realizar una partición del mismo en pirámides triangulares buscando, por un lado, que la descomposición tenga cardinal mínimo y, por otro, buscando alternativas en las que sin ser de cardinal minimo se encuentren congruencias o equivalencias.

Dado que las pirámides triangulares son poliedros convexos con cuatro caras triangulares (es decir tetraedros) y cuatro vértices, en la planificación de esta partición han de tenerse en consideración las siguientes observaciones:

  • Las caras del cubo han de dividirse en triángulos y, por tanto, se parte de un mínimo de 12 triángulos (2 por cada cara del cubo) y 18 segmentos (las doce aristas del cubo, más seis diagonales necesarias para partir cada una de las seis caras del cubo), que junto a los ocho vértices constituyen los elementos primarios a partir de los cuales se han de construir las pirámides de la partición.
    Elementos primarios para la partición

    Escena 4. Una posible elección de los elementos primarios para realizar la partición 

  • El menor número de pirámides se obtiene cuando se consideran exclusivamente los elementos primarios citados. La introducción de cualquier vértice o segmento adicional generará un mayor número de combinaciones posibles, un mayor número de pirámides.
  • Dos pirámides de la partición pueden compartir como máximo tres vértices, una cara. O lo que es equivalente han de tener tres caras diferentes.
  • Una pirámide triangular de la partición queda determinada sin más que elegir dos segmentos con distinta dirección no coplanarios.
    Dos segmentos con diferente dirección no coplanarios

    Escena 5. Pirámide triangular determinada por dos segmentos con distinta dirección no coplanarios 

  • Cuando todas las diagonales correspondientes a las caras opuestas tienen distinta dirección las particiones en pirámides triangulares tienen más de seis pirámides, salvo:
    • Una partición con cinco elementos, que es la de cardenal mínimo, formada por cuatro pirámides trirrectángulas y un tetraedro regular.
      Partición de un cubo en cinco pirámides triangulares

      Escena 6. División del cubo en cinco prismas triangulares

    • Una partición con seis elementos, que es la partición no prismática indicada antes en la escena 2 y compuesta por las pirámides  {Y, Z, Y, Z, Y, Z}.
  • Cuando al menos un par de las diagonales correspondientes a caras opuestas tienen la misma dirección, entonces ese par junto a las dos aristas que son perpendiculares a ellas, forman un rectángulo y la partición en pirámides triangulares es posible sólo si se introduce al menos un segmento que bien subdivida ese rectángulo en dos triángulos o bien que lo corte. Al introducirse en la partición un nuevo elemento primario no puede obtenerse la partición de cardinal mínimo. 
    Segmentos coplanarios

    Escena 7. Diagonales coplanarias 


    Ese segmento adicional puede ser:
    • Una diagonal del cubo. Aquí la obtención de una partición obliga a incluir nuevos elementos primarios, puntos y segmentos, y  consecuentemente se incrementa el número de pirámides obtenidas.
    • La diagonal de ese rectángulo. En este caso el cubo queda dividido en dos prismas triangulares rectos con bases que son triángulos rectángulos isósceles. En esta situación diremos que la partición del cubo es prismática y veremos que conduce a un mínimo de seis pirámides triangulares; y en el caso de ser exactamente seis se cumple que siempre son equivalentes, es decir, que tienen igual volumen.
      Descomposición cubo en dos prismas triangulares

      Escena 8. División del cubo en dos prismas triangulares 

Así pues, nuestro análisis nos conduce a plantearnos la partición del cubo a través de la descomposición de un prisma triangular en pirámides triangulares. Éste puede ser un buen tema para detallar en un próximo artículo, y ello es mi propósito, confiando en que habrá colegas interesados en seguir comprobando como algo que parece tan simple, la descomposición de un cubo, no lo es tanto y aporta mucho juego, interés, conocimiento y belleza matemática. Por aquí ¡os espero pronto! 

Publicado en Difusión

 

Partición no prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes

Título: Partición no prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Subproyecto Misceláneas.


El subproyecto Misceláneas está de enhorabuena, que se recuerde, pocas veces, en tan poco tiempo, un grupo tan reducido de personas ha aportado tanta cantidad de objetos de tan elevada calidad y tan alto potencial educativo a cualquiera de los subproyectos de la Red Descartes. Y no es la intención desmerecer al resto, muy al contrario; si no la de dar merecida notificación de un hito tan memorable. La excepcionalidad se justifica a si misma nada más visualizar cualesquiera de las últimas escenas incorporadas al subproyecto, lo que ya ha sido posible gracias a las reseñas que tanto José R. Galo Sánchez como Ángel Cabezudo Bueno han expuesto recientemente en el apartado Últimos materiales del blog y al artículo que el primero de ellos acaba de publicar, también en este blog, donde justifica el proceso de creación, creando a su vez nuevas escenas relacionadas con el tema de proporcionar una ayuda inestimable a la capacidad de visualización de las transformaciones dinámicas en el espacio tridimensional. Por otro lado la buena salud del subproyecto también se debe a la infatigable tarea de adaptación de materiales obsoletos, al nuevo editor DescartesJS, de las profesoras Elena E. Álvarez Sáiz y María José García Cebrian, los profesores ya mencionados y otros/as que aunque no se indican están en la mente de todos los usuarios del portal. Relativo a las aportaciones más recientes caben destacar:

De las que destacamos:

joyeríamezclas
Matemáticas, joyería y mezclas. 

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra una presentación de los cuerpos platónicos diferente a lo habitual.



Ildefonso Fernández Trujillo. 2018

 

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Partición de un cubo en pirámides de base cuadarada. Caso general.

Título: Partición de un cubo en pirámides de base cuadrada. Caso general.
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Partición de un cubo en cuatro pirámides cuadradas iguales dos a dos

Título: Partición de un cubo en cuatro pirámides cuadradas iguales dos a dos
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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El estudio y búsqueda de regularidades o propiedades en cualquier objeto puede abordarse desde diferentes perspectivas. Una de ellas es proceder a la disección o descomposición buscando desentrañar el interior o lo particular para comprender el exterior o la globalidad. La máxima aristotélica de que el todo es más que la suma de sus partes no queda contradicha por acudir al hecho de realizar una partición matemáticamente descomponer un conjunto como unión de subconjuntos cuyas intersecciones tienen medida nula—, sino que metodológica o procedimentalmente es un medio humanamente asequible con el que dar un primer paso a través del cual buscar y tratar de abarcar, en un posterior análisis global, ese todo a partir de sus partes. En esta línea, en este artículo, mostraremos con recursos interactivos algunas particiones usuales de un cubo en pirámides con base cuadrada y comprobaremos como todos esos casos son situaciones particulares de una partición general basada en nueve puntos (los vértices del cubo y un adicional).  

El motivo para elegir una determinada partición de la infinidad de particiones posibles y hacerla distinguible del resto puede sustentarse en diversos criterios u objetivos, pero usualmente suelen marcarse pautas como que la partición tenga el menor número de elementos o que sea lo más regular posible, es decir, que las partes sean iguales o congruentes —que coincidan mediante una composición de isometrías (traslaciones, giros o simetrías)— o equivalentes —con igual medida— o cualquier otro parámetro que sea atractivo para quien busque adentrarse en este contexto. Pero la elección también podría estar marcada por criterios opuestos o diferentes a los anteriores. Si pensamos en que la reconstrucción del cubo a partir de las piezas de una partición es un entretenimiento usual, catalogado como rompecabezas o puzle, el diseñador del mismo puede perseguir que todas las piezas sean iguales o plantarse en la situación opuesta de que todas sean diferentes. La dificultad o sencillez, la mayor o menor belleza del modelo obtenido tiene más componente subjetivo que objetivo; pero la belleza matemática siempre estará implícita en todos y cada unos de los planteamientos realizados, al ser medios y soportes conducentes a la extracción y obtención del conocimiento.

En este artículo analizaremos la partición de un cubo en pirámides de base cuadrada y en un artículo posterior nos adentraremos en la partición en pirámides de base triangular (tetraedros aunque no necesariamente regulares).

Particiones de un cubo en pirámides de base cuadrada 

Posicionándonos y atendiendo al criterio de que la partición tenga cardinal mínimo o que sea lo menor posible y adicionalmente que sus componentes sean regulares o que sean lo más similares entre sí, podemos encontrar cuatro situaciones, que son las que usualmente se muestran y divulgan, y que reflejaremos en sendos recursos interactivos. En ellos se conjugará la virtualidad digital con la posibilidad de contruir el modelo respectivo de forma tangible, a lo que animamos e invitamos a todos.

1. Tres pirámides cuadradas iguales.

Este caso se corresponde con la partición con cardinal mínimo.  Las tres pirámides comparten la misma cúspide y son iguales. Esta partición suele tomarse como base para mostrar que el volumen de una piramide es la tercera parte del área de su base por su altura, pero no nos adentraremos en ese objetivo. 

Partición de un cubo en tres pirámides cuadradas iguales

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2. Cuatro pirámides cuadradas iguales dos a dos.

Esta partición se caracteriza porque las cuatro pirámides también comparten la misma cúspide y son iguales dos a dos.  

Partición de un cubo en cuatro pirámides cuadradas iguales dos a dos

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3. Cinco pirámides cuadradas, cuatro iguales y una desigual que es regular.

Aquí las cinco pirámides vuelven a tener la misma cúspide.

Partición de un cubo en cinco pirámides cuadradasHaz clic en la imagen para acceder al recurso interactivo

4. Seis pirámides cuadradas regulares e iguales.

Todas las pirámides comparten la misma cúspide y todas son regulares e iguales (congruentes). 

Partición de un cubo en seis pirámides cuadradas igualesHaz clic en la imagen para acceder al recurso interactivo

 

 

Todos los casos anteriores son los ejemplos que usualmente se suelen mostrar en múltiples contextos por su simplicidad y belleza. Pero, como hemos indicado, la belleza también puede alcanzarse a través de un análisis global en el que los casos anteriores no sean más que un caso particular de una situación general, y donde la diversidad y la diferencia sean la pauta a lograr. En ese empeño, a continuación, mostraremos de manera razonada y constructiva cómo abordar una partición del cubo en pirámides de base cuadrada, y adicionalmente se podrá observar digital y analógicamente apoyándonos en un nuevo recurso interactivo.

Generalización de la partición del cubo en pirámides cuadradas

Para construir una partición del cubo en pirámides cuadradas es necesario, obligatorio, utilizar los ocho vértices del cubo y las doce aristas del mismo, y adicionalmente hay que seleccionar o marcar cuál o cuáles serán las cúspides de las pirámides a construir. La introducción de puntos adicionales a los vértices hará que aumente el número de combinaciones de cinco puntos que pueden realizarse y consecuentemente podrá incrementarse el número de pirámides de la partición (no todas las combinaciones posibles de vértices son viables para obtener una partición del cubo).  Así pues, analicemos diferentes alternativas:

  • No incluir ningún punto adicional.
    Esta elección obliga a que la cúspide de cada pirámide sea uno de los vértices del cubo y si además imponemos que todas las pirámides compartan la misma cúspide entonces obviamente obtendremos la partición de cardinal mínimo. Este plantemiento es viable pues basta seleccionar un vértice del cubo y desde él trazar segmentos a cada uno de los otros siete vértices, ello conduce a la partición en tres pirámides que ha sido reflejada en el primer caso descrito en este artículo. La partición es única pues, se elija el vértice que se elija, todas las particiones son congruentes mediante giros.
  • Añadir un punto adicional. 
    Este punto sería la cúspide común de todas las pirámides a construir para que así el número de éstas sea lo menor posible y constructivamente se procede igual que en el caso anterior trazando segmentos desde la cúspide común a los vértices del cubo. Dicho punto adicional ha de pertenecer al cubo, bien a su interior o a la frontera y por tanto podemos distinguir las siguientes situaciones:
    • Punto perteneciente a una arista. Aquí obtendremos una partición compuesta por cuatro pirámides. En general las cuatro son distintas, pero entre dos de ellas se da siempre una congruencia (una es simétrica de la otra). Y hay un caso particular en el que las pirámides son iguales dos a dos, que es el segundo caso expuesto en la sección anterior, y que acontece cuando el punto adicional considerado es el punto medio de la arista.
      La arista a la que pertenezca el punto no introduce ninguna variación. Todas serán situaciones congruentes. 
    • Punto perteneciente a una cara. Este caso conduce a la partición en cinco pirámides y de las infinitas posibilidades la situación con más regularidad es cuando el punto elegido es el punto donde se intersecan las diagonales de la cara. Es el tercer caso expuesto con anterioridad.
      La partición, salvo isometrías, es independiente de la cara seleccionada
    • Punto perteneciente al interior del cubo. Esta situación hace que sean seis pirámides las que forman la partición. De las infinitas particiones posibles, cuando el punto seleccionado es el punto de intersección de las diagonales del cubo se tiene que las seis pirámides son iguales y regulares, éste es el cuarto caso mostrado antes.

En el siguiente objeto interactivo puede experimentarse y verse todo lo indicado.

Partición de un cubo en pirámides de base cuadarada. Caso general.

Haz clic en la imagen para acceder al recurso interactivo

 

En un próximo artículo nos adentraremos en la partición de un cubo en pirámides triangulares.

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Partición de un cubo en seis pirámides triangulares congruentes

Título: Partición de un cubo en seis pirámides triangulares congruentes
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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geometria-triangulo-I-JS

Título: Geometría del triángulo I
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría analítica plana
Nivel/Edad: 1º Bachillerato (16 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Rita Jiménez Igea

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Partición de un cubo en cinco pirámides triangulares

Título: Partición de un cubo en cinco pirámides triangulares
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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