INTRODUCCIÓN
En esta miscelánea se analizan todas las funciones reales de variable real que tienen como gráfica una línea recta y se clasifican en lineales y afines.
OBJETIVOS
- Observar que la gráfica de toda función polinómica de grado menor o igual que uno es una línea recta.
- Asociar la expresión algebraica y=mx+n o la funcional f(x)=mx+n con su gráfica e interpretar su forma y ubicación según los valores de los parámetros m y n.
- Clasificar las funciones que tienen como gráfica una línea recta en funciones lineales y afines, identificando su ecuación.
- Visualizar, interpretar y comprender el significado de pendiente y de ordenada en el origen en una línea recta.
INSTRUCCIONES
Al abrir la escena se presenta la fotografía de una estación de tren en la que se identifican diferentes líneas rectas y, en concreto, algunas se han resaltado al superponer segmentos con diferente color.
En la parte superior se marca el objeto de estudio "Funciones cuya gráfica es una línea recta" y se indica la expresión que cumplen todas ellas, es decir, todas son funciones polinómicas de grado menor o igual que uno que pueden expresarse como y=mx+n donde m y n son los parámetros que identifican a cada una de ellas. Realmente lo que se muestra es que si una función tiene esa expresión, entonces su gráfica es una recta (condición suficiente), pero aquí no se aborda la condición necesaria, es decir, que si la gráfica de una función es una recta entonces ha de ser del tipo f(x)=mx+n.
Se incluye un control tipo menú con cuatro opciones posibles:Al seleccionar una opción se accede a un espacio gráfico específico:
- "Selecciona una opción" que permite ubicarse en la pantalla inicial y ver la fotografía.
- "m=0 pendiente nula" que permite estudiar las funciones cuya ecuación es y=n, es decir, polinomios de grado cero.
- "n=0 ordenada en el origen nula" que permite estudiar las funciones cuya ecuación es y=mx, las cuales son todas funciones lineales.
- "m#0 y n#0" que permite estudiar las funciones cuya ecuación es y=mx+n, es decir, aquellas que son polinomios de primer grado con termino independiente no nulo y que se corresponden con funciones afines.
Nota: Hay que marcar que el concepto de linealidad de una función es más restricitivo que el mero hecho de que su gráfica sea una línea recta. De hecho, según ese criterio, toda función real de variable real se podría decir que es lineal ya que su gráfica es una línea, es decir un objeto unidimensional. Pero eso no coincide con el concepto de linealidad.
- Cuando m=0 todas las funciones son constantes y su gráfica es una línea horizontal (pendiente cero).
Se dispone de:
- Un control numérico que permite cambiar el valor de n que se denomina ordenada en el origen porque es el valor de la ordenada cuando x=0. En la parte superior se refleja la ecuación de la recta representada.
- Un control gráfico que puede desplazarse sobre la recta y así observar cómo la ordenada de todos los puntos toma siempre el mismo valor, el asignado a n. Por ello, se dice que es una función constante.
- Cuando n=0, ordenada en el origen nula, puede observarse que todas las funciones pasan por el origen de coordenadas. Son funciones de proporcionalidad directa, es decir, el cociente entre la ordenada y la abscisa de cualquier punto es siempre el mismo valor. A este valor común se le denomina pendiente de la recta y se corresponde con el valor asignado al parámetro m.
En este caso disponemos de:
- Un control numérico que permite cambiar el valor de m, la pendiente. Al variar éste se refleja la ecuación de la recta representada y también se especifica si la función es creciente, constante o decreciente buscando que se asocie el valor de m con esta característica.
- Un botón, etiquetado con el nombre de pendiente, que al pulsarlo da acceso a dos controles gráficos junto a una información adicional que permite hallar la razón entre la diferencia de las ordenadas y de las abscisas de esos dos puntos y así comprobar que ese cociente es el valor de la pendiente. Obviamente estos dos puntos pueden desplazarse a la posición que se desee, comprobando que la razón no varía.
En esta situación se explicita la relación que existe entre el signo de m y el crecimiento, con objeto de destacar ésta y facilitar su aprendizaje.
Al pulsar de nuevo ese botón se omite esta información adicional.- En el último caso (m≠0 y n≠0) se analizan situaciones en las que no hay una relación de proporcionalidad directa. Todas son funciones afines.
Ahora se dispone de:
- Dos controles numéricos que permiten cambiar el valor de m --la pendiente--, y n --la ordenada en el origen--. Al cambiarlos se refleja la ecuación de la recta representada y también se especifica si la función es creciente o decreciente tratando, al igual que en el caso anterior, que se asocie el valor de m con esta característica. Al variar estos dos parámetros se permite el caso en que m y/o n sean cero, pero cuando ello acontece se oculta la opción del menú y se especifica que es una función constante cuando m=0 y que es lineal cuando n=0. Para volver a disponer del menú de selección tendrá que ponerse m y n no nulos.
- Un botón, analogo al caso anterior etiquetado con el nombre de pendiente, y cuyo funcionamento es el antes descrito.
Matemáticamente una función es lineal si:y en las funciones aquí estudiadas esto sólo acontece cuando f(x)=mx y con la función constante f(x)=0, caso particular de la anterior, que son las funciones de proporcionalidad directa.
- f(x+y)=f(x)+f(y)
- f(ax)=af(x)