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Dados dos
puntos del plano P (x1, y1), Q (x2,
y2) aplicando el teorema de Pitágoras determinar la
distancia entre esos dos puntos. (4º ESO).
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Dados dos
puntos del plano P (x1, y1), Q (x2,
y2) determinar el vector PQ y su módulo. Verificar
que éste da la distancia entre los puntos P y Q. (1º Bach.).
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Determinar
la ecuación del lugar geométrico (circunferencia) de los puntos del plano que equidistan de
un punto dado. (4º ESO y 1º Bach.).
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Determinar
las ecuaciones correspondientes a una traslación de ejes, a un
giro y a una homotecia. Hacerlo mediante un planteamiento
geométrico y también usando operaciones con números complejos.
(1º de Bach.).
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Analizar los diferentes
casos posibles al intersecar una circunferencia y una recta en
el plano. Previa justificación (usar el ejercicio 4) reducir
el problema a la intersección de la circunferencia de centro
el origen de coordenadas y radio unidad. (1º de Bach.).
- Analizar los diferentes
casos posibles al intersecar dos circunferencias en el plano.
(1º de Bach.).
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Longitud de un arco de
circunferencia. (1º de ESO conociendo el ángulo central que
determina el arco, 1º Bach. a partir de las coordenadas de los
puntos que determinan el arco situados en un plano, 2º Bach. a
partir de las coordenadas de los puntos ubicadas en el
espacio y del centro de la circunferencia que contiene dicho
arco).
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Dados dos
puntos P y Q en el plano determinar todas las
circunferencias que tienen como cuerda el segmento PQ.
Determinar los valores mínimo y máximo de los radios de esas
circunferencias. Hallar el lugar geométrico de los centros de
ellas. ¿Que figura geométrica se obtiene cuando el radio
tiende a infinito? (1º de Bach).
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Determinar
el lugar geométrico (esfera) de los puntos del espacio que
equidistan de un punto dado. (2º de Bach).
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Analizar los
diferentes casos al intersecar una esfera y un plano. Usar y
justificar que el problema puede reducirse a la intersección
de la esfera con centro el origen de coordenadas y radio
unidad con planos paralelos, por ejemplo, al plano OXY.
Determinar el tipo de curva intersecada. (2º de Bach.).
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Dados dos
puntos P y Q de una esfera, determinar la ecuación del haz de
planos secantes de arista la recta que pasa por PQ. Justificar
que siempre puede reducirse el problema al caso en que los
puntos P y Q estén en el plano OXY, que sean simétricos
respecto al eje OY, que la esfera esté centrada en origen de
coordenadas y que tenga de radio unidad. (Ver el espacio 3D
representado en la zona derecha de la escena). (2º de Bach.).
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En la
situación simplificada indicada en el ejercicio anterior,
expresar el haz de planos en función del ángulo que forma el
plano del haz con el plano OXY. (2º de Bach.).
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Cada plano
del haz del ejercicio anterior interseca a la esfera en una
circunferencia. Demostrar que el centro de esa circunferencia
está en el plano OYZ. (2º de Bach.).
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Teniendo en
cuenta lo demostrado en el ejercicio anterior, determinar las
coordenadas del centro y el radio de la circunferencia
intersecada en función del ángulo que forma el plano del haz
con el plano OXY, reduciendo el problema a un problema
bidimensional de intersección de recta y circunferencia en el
plano OYZ. (2º de Bach.).
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Conocido el
centro y radio en función del ángulo (ejercicio 14),
determinar la longitud del menor arco de circunferencia que
une los puntos P y Q (distancia numérica reflejada para cada
ángulo en el espacio superior izquierdo de la escena del
objeto y una aproximación de la gráfica esta función en la
zona inferior). (2º de Bach.).
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Determinar
que el mínimo de la función del ejercicio 15, y
consecuentemente la distancia mínima entre los dos puntos de
la esfera se corresponde, en el contexto fijado, con el ángulo
de 0º. Verificar a partir del ejercicio 14 que el centro y el
radio de la circunferencia que da la distancia mínima coincide
respectivamente con el centro y el radio de la esfera.
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Verificar
que la función distancia(ángulo) es una función periódica de
periodo el número pi. (2º de Bach.).
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Averiguar el
radio medio de la Tierra y expresar la distancia entre dos
puntos cualesquiera de la esfera. De nuevo reducir el problema
a un problema de geometría plana, sin más que determinar el
ángulo de vértice el origen de coordenadas y lados que pasen
respectivamente por cada uno de los puntos dados . (2º
de Bach.)