INTRODUCCIÓN

Aristóteles (384 a. C.-322 a. C.) dijo: "Hay ciertas cosas que cuando crecen no sufren alteración salvo en magnitud", y definió: "El gnomon es toda figura cuya yuxtaposición a otra dada produce una resultante que es semejante a la inicial".

En esta miscelánea se trabaja con estos conceptos considerando desde el planteamiento geométrico más simple, basado en un triángulo, hasta el que acontece en la naturaleza como, por ejemplo, en las conchas de los moluscos.
En este recurso se muestra el caso de crecimiento gnomónico continuo, pudiéndose definirse también un crecimiento gnomónico discreto.

OBJETIVOS

1. Mostrar el crecimiento gnomónico aristotélico continuo en un triángulo.
   
2. Observar dicho crecimiento en cualquier polígono.
3. Plantear el crecimiento gnomónico en recintos planos que verifiquen que exista un punto en él, que denominamos polo, desde el que todo segmento trazado a cualquier otro punto del recinto sea interior al mismo.
4. Reconocer el patrón de crecimiento en algunas conchas de molúscos, en concreto en una almeja, en una vieira y en una coquina.

INSTRUCCIONES

En la parte superior derecha de la escena se cuenta con dos controles, uno para avanzar y otro para retroceder, que permiten observar seis situaciones:

1. Crecimiento gnomónico continuo en un triángulo.
   Se presenta un triángulo P₀P₁P₂, de color anaranjado, en el que los vértices pueden trasladarse, y un control P'₁ que al desplazarlo siguiendo la dirección del segmento P₀P₁ genera el crecimiento autosemejante de ese triángulo. El gnomon se refleja en color azulado.
2. Crecimiento gnomónico continuo de un polígono.
   Se presenta un cuadrilátero P₀P₁P₂P₃, de color anaranjado, en el que los vértices pueden moverse, y un control P'₁ que al desplazarlo siguiendo la dirección del segmento P₀P₁ genera el crecimiento autosemejante de ese cuadrilátero. El gnomon se refleja en color azulado.
   Adicionalmente se tiene un control numérico que permite introducir nuevos vértices y con ellos construir polígonos de mayor número de lados. La posición de esos vértices no puede ser cualquiera, ya que acontecerían casos en los que habría solapamiento en el crecimiento, y por ello en la escena se controla que el polígono que se construye sea admisible tomando siempre como polo el vértice P₀.
   Con el control P'₁ se genera el crecimiento autosemejante
   En la parte inferior derecha se tiene un botón que permite descomponer el polígono en triángulos, es decir, se reduce la situación actual a la anterior.
3. Crecimiento gnomónico en un recinto plano.
   En esta escena a partir de un polígono construido de igual manera que lo indicado en el punto anterior se conforma una curva de Bézier que determina un recinto admisible para el crecimiento gnomónico continuo (se restringe el polígono que se puede contruir según lo indicado antes y así el recinto determinado por esa curva cumple la condición de que todo segmento que une el polo P₀ con otro punto del mismo sea interior). El recinto no tiene por qué diseñarse de esta forma, pero aquí se optó por este tipo de curvas suaves.
   De nuevo con el control P'₁ se genera el crecimiento autosemejante
   En la parte inferior derecha se tiene el botón que permite descomponer el polígono en triángulos y otro que oculta el polígono que determina el recinto.
4. Crecimiento gnomónico de una almeja.
   Se aproxima mediante una curva de Bézier el perfil de la concha de la almeja y puede reproducirse su crecimiento con el control P'₁.
   Se aporta una aproximación posible, pero el usuario puede optar por una propia cambiando los vértices del polígono y el número de estos.
5. Crecimiento gnomónico de una vieira.
   Situación análoga a la anterior, pero cambiando la concha por la de una vieira.
6. Crecimiento gnomónico de una coquina.
   Y ahora, análoga situación, con la concha de uan coquina.