INTRODUCCIÓN

La "Aguja de BUFFON".

Las escenas muestran el clásico problema de probabilidad matemática propuesto por el matemático francés Georges Louis Leclerc (1708-1788) conde de Buffon, donde se aplicó la Geometría para su resolución.

"Sobre un plano se trazan rectas paralelas equidistantes situadas unas de las otras a una distancia constante l. Se arroja al azar una aguja tan delgada que se considera un segmento rectilineo de la misma longitud l que la distancia entre las paralelas. ¿Cual es la probabilidad de que la aguja corte a una de las líneas?"

Calcularemos la probabilidad utilizando la Regla de Laplace. Se admite que todos los resultados obtenidos al lanzar una aguja son equiprobables.

P(la aguja corta la línea)=

Casos favorables / Casos posibles

Los casos favorales son aquellos en los que la aguja corta una línea y los casos posibles el número de agujas lanzadas.

En la primera parte se escenifican los resultados del experimento, lanzando una cantidad de agujas determinada, tantas veces como queramos: 2, 3, 4,..., 500,..., 1000,..., 30000. En las escenas siguientes se analizan los resultados y se justifica, geométricamente, por qué la probabilidad de que la aguja corte a una línea es .

Verificaremos con este experimento como es posible obtener valores aproximados del número π (Pí), sustituyendo en la expresión de la probabilidad

π=

2 / P(la aguja corta la línea)

• En la primera escena:
  
  
  • El pulsador lanzamientos controla el número de agujas que se van a lanzar (o número de veces que se lanza una aguja). Se puede modificar su valor mediante sus propios controles o ingresando la cantidad deseada con el teclado. Hasta 500 lanzamientos se representan las agujas, a partir de esta cantidad únicamente se muestran los puntos medios. Para que las agujas o/y puntos medios sean visibles es necesario pulsar el botón Dibujar aguja o Lanzar.
  
  
  • Los botones Dibujar agujas o Lanzar, visibles y/o accesibles según el número de lanzamientos, muestran las agujas lanzadas con los puntos medios de las mismas resaltados o únicamente dichos puntos medios y completan las expresiones: toca, no toca y P(toca), probabilidad de tocar, en la muestra experimental.
  
  
  • El botón otra muestra, visible cuando se activa Dibujar agujas o Lanzar, al ser pulsado vuelve a realizar la simulación con el mismo número de lanzamientos.
  
  
  • El botón justificación da acceso a tres escenas que hacen un análisis geométrico de la simulación y conduce al cálculo teórico de la probabilidad, en cuya expresión interviene π.
• La segunda escena inicia el estudio geométrico del experimento. Proporciona el pulsador θ para facilitar dicho estudio y un botón para acceder a la siguiente escena.
  
  
  


• La tercera escena continua con el estudio geométrico del experimento mostrando una representación geométrica de todo el espacio de sucesos asociado a la simulación así como la región favorable al suceso "tocar la línea".
  
  
  


• En la cuarta escena se calcula el área de la región favorable y la probabilidad del suceso "tocar la línea".

OBJETIVOS

La primera parte de la miscelánea que simula el experimento es adecuada para el último curso de la Educación Secundaria Obligatoria. La justificación del valor teórico de la probabilidad, en la última escena, utiliza el cálculo integral para determinar el área bajo una curva, más adecuada al nivel de bachillerato. Esta parte puede ser asumida por el alumno del nivel educativo señalado sin que suponga por ello una merma en el interés de este material en los objetivos señalados

• Conocer la existencia del problema de la "Aguja de Buffon".


• Realizar la simulación varias veces en distintas condiciones iniciales y comprender que la probabilidad del suceso es el valor al que tiende la frecuencia relativa de los casos en que la aguja corta una línea cuando el número de lanzamientos crece arbitrariamente.


• Profundizar en el uso y conocimiento de la simulación digital.


• Comprender el método geométrico para obtener probabilidades.

INSTRUCCIONES

Modificar los valores de los pulsadores: lanzamientos y θ mediante sus propios controles o haciendo clic en el área del valor e ingresando la cantidad deseada con el teclado y a continuación pulsar la tecla "entrar".
Mediante los botones expuestos se observa la opción deseada o se navega por las diferentes escenas.

PARA PROFUNDIZAR

Suponer un caso más general en el que la aguja pueda tener también un tamaño k menor que la separación l entre las líneas, esto es k ≤ l

En estas condiciones la probabilidad de que la aguja corte una línea está dada por la expresión . Este resultado nos viene a decir que la probabilidad de que la aguja corte a la línea aumenta con el tamaño de la aguja y también al hacer menor la separación de las líneas.

El alumno de  bachillerato podrá calcular esta probabilidad siguiendo un proceso similar al  que hacemos  en este material.

Vemos que en el caso de que k = l, que es el que hemos tratado en la miscelánea,  la probabilidad es  .

En el supuesto de que k > l ,  la aguja puede cortar a más de una línea paralela y la expresión de la probabilidad se complica.