INTRODUCCIÓN

En la miscelánea "Extensión del triángulo de Pascal: El parelelogramo de Newton" se parte del triángulo de Pascal según la orientación escalonada de Stilfel —Arithmetica Integra (1544) reverso p.44—

Presentación realizada por Stilfel y usada por Newton para su extensión

y en esta miscelánea se muestra que si se parte de la orientación considerada por Pascal

El triángulo aritmético de Pascal reflejado en su libro Traité du triangle arithmétique

la extensión de Newton se obtiene sin más que realizar gráficamente una simetría en la posición de los coeficientes y cambiar el signo de los ubicados en las columnas impares.

Coeficientes binomiales y binomio de Newton con exponente natural y entero

Con esta construcción los números de cada una de las filas en la parte inferior, la correspondiente a la del triángulo de Pascal, son los coeficientes binomiales de (a-x)^-n y en la extensión de Newton, que ocupa la parte superior, son los de (a+x)^-n. E igualmente, considerando "las diagonales" (ver la lineas en tono azulado a la izquierda de la imagen) tenemos los coeficientes de (a+x)ⁿ y (a-x)ⁿ respectivamente.

Así pues, se concluye que basta considerar el triángulo de Pascal en la orientación aportada por él. Con éste se tienen los coeficientes del desarrollo del binomio (a-x)^-n por filas y para (a+x)ⁿ por "diagonales". Los desarrollos de (a+x)^-n se obtienen como (a-(-x))^-n y (a-x)ⁿ como (a+(-x))ⁿ.

Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal

Llegados a este punto, identificados el significado y posición de estos coeficientes binomiales, aquellos que no se acostumbren a esta posición pueden hacer un giro de vértice el del ángulo recto en el triángulo anterior y ángulo -45º y ubicarlo en la posición usual actual. Aquí lo tiene a continuación, ya hemos justificado que es autosuficiente, pero no sólo enseñe cuáles son los coeficientes de las potencias de exponente natural ¡hágalo también con los de exponente entero negativo!

Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal 

Obviamente la presentación y orientación es a gusto del lector, pero en la posición dada por Pascal acontece que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, entonces por simetría tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton, tal y  como lo observamos en la siguiente imagen.

Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton. Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal

Esa simetría no acontece para congruencias con resto no nulo y módulo superior a dos, dado que en las columnas impares hay un cambio de signo en los valores de los coeficientes... Pero la profundización en estas congruencias las abordaremos en otra miscelánea.

Nota bene: Maor en su libro "e: historia de un número" (1994) describe que Newton en 1665 estuvo recluido durante dos años con motivo de la "gran peste de Londres", durante ese tiempo formó sus ideas sobre el universo y puso los fundamentos de lo que sería un cambio en el curso de la ciencia. Fue en esta época cuando procedió a la extensión del triángulo de Pascal y a la expansión de la potencia de un binomio a potencias de exponente entero y racional. Trecientos cincuenta y cinco años después, actualmente (marzo de 2020), estamos en un periodo de reclusión mundial a causa de la pandemia del "Coronavirus COVID-19" y aquí, en esta miscelánea, recordando su "paralelogramo".

OBJETIVOS

1. Conocer que la extensión que Newton realizó sobre el triángulo de Pascal, se obtiene fácilmente si se parte del triángulo de Pascal organizándolo según la orientación en la que lo presentó el mismo Pascal.
2. Aprender cómo obtener en el triángulo de Pascal los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton correspondientes a exponentes naturales y exponentes enteros negativos.
3. Observar las regularidades geométricas que se observan en la extensión de Newton y su relación respecto a las mismas congruencias en el triángulo de Pascal.
4. Ver que si se conocen las congruencias con 0 de los coeficientes en el triángulo de Pascal, entonces por simetría se tienen las correspondientes al rectángulo de Newton.
5. Comprobar que la simetría antes indicada no acontece para congruencias con resto no nulo y módulo superior a dos, dado que en las columnas impares hay un cambio de signo en los valores de los coeficientes.

INSTRUCCIONES

Al iniciar la escena, en la parte superior central, se muestra la extensión que realizó Newton y en la parte inferior el triángulo de Pascal en la orientación original dada por él. Se reflejan, respectivamente, los diez primeros coeficientes binomiales (numeración de columnas de 0 a 9, en color azul) correspondientes al desarrollo de (a+x)^-n y (a-x)^-n con n tomando valores en ambos casos entre 1 y 9 (numeración de filas).

Hay que indicar que la representación de este rectángulo numérico (o paralelogramo, según decida) entraña dos dificultades principales a medida que se incrementa la cantidad de números a visualizar:

• El espacio que ocupa la escritura de cada coeficiente binomial y que progresiva y rápidamente va incrementándose.
• El tiempo de cálculo necesario para ubicar, desplazar, representar en la tabla dichos coeficientes y para poder escalarla.

Es por ello que tendremos que considerar algunas restricciones o limitaciones que iremos señalando posteriormente y, a su vez, se observará cierta lentitud en la respuesta a nuestras interacciones con la escena cuando se requieran muchas filas y columnas (la exigencia de cálculo habrá que compensarla con un poquito de paciencia). Obviamente dichas limitaciones pueden modificarse editando la escena.
Adicionalmente, el cálculo de los coeficientes, que se realiza por recursividad apoyándose en la relación existente entre los coeficientes binomiales de dos filas y columnas consecutivas, conduce a números enteros que superan el número designado como MAX_SAFE_INTEGER y que en javascript es 2⁵³-1 (algo superior a 9 mil billones). Así pues, en esos casos no se refleja el coeficiente y se colorea la casilla donde iría ubicada con un fondo rojizo (este rojo puede verse matizado si el control "color", que se describe posteriormente, está activo).

En la parte superior de la escena pueden observarse diferentes controles cuya funcionalidad es la siguiente:

• Escala: Permite modificar la escala a la que se representa el paralelogramo de Newton. El número de cifras que tienen los coeficientes binomiales aumenta rápidamente y por tanto es necesario acudir a este control para visualizarlos globalmente. No obstante, manteniendo la escala, con el ratón o con el dedo en dispositivos táctiles se puede abordar el desplazamiento de la tabla en cualquier dirección.
• Selector de inclinación: Debajo del control de escala se cuenta con una barra de desplazamiento con la que puede modificarse la inclinación del paralelogramo y representarlo, si se desea, como un rectángulo. Por defecto se presenta como rectángulo.
• Filas: Número de filas correspondientes a cada familia de coeficientes binomiales a representar, la correspondiente a la parte de Pascal y la de la extensión de Newton. En la escena el rango se ha restringido a 175 en cada una de las partes.
• Columnas: Número de columnas correspondientes a cada familia de coeficientes binomiales a representar. En la escena el rango se ha restringido a un máximo de 100 columnas.
• Selección paralelogramo o triángulo: mediante este menú puede seleccionarse la representación del paralelogramo de Newton o el triángulo de Pascal (recuerde que es la representación original de Pascal y por tanto lo que se observa es un rectángulo en el que cada dirección paralela a la diagonal de abajo-izquierda a arriba-derecha son los números combinatorios de´mismo índice superior).
• Números: Permite representar el valor de cada coeficiente binomial o bien ocultarlos y, en este caso, sólo reflejar mediante colores la relación de congruencia de cada uno respecto a un divisor y resto elegido. Al indicar "No" en esta opción se activa la opción color a "Sí".
• Color: Al seleccionar "Sí" en este control se mostrarán dos controles adicionales: divisor y resto, de manera que se reflejará en la tabla con fondo naranja todos los coeficientes binomiales que sean congruentes con el resto indicado y con módulo el divisor. Por defecto se asigna el valor de 2 al divisor y 0 al resto, pero pueden cambiarse. Mediante esta coloración pueden observarse pautas geométricas de cómo se distribuyen estos coeficientes. Se dispone de esta otra miscelánea en la que pueden observarse mejor estas regularidades al omitirse la representación de los coeficientes binomiales y al asignar igual espacio a todas las casillas de la tabla.