INTRODUCCIÓN

El paralelogramo de Newton se obtiene al extender el triángulo de Pascal mediante la introducción de números combinatorios (coeficientes binomiales) con índice superior un número entero.

Si a esos coeficientes binomiales se le aplican congruencias numéricas, por ejemplo todos los números congruentes con 0 módulo 2, y se le asigna un color a todos lo que cumplen esa condición, entonces acontecen curiosas regularidades que reflejan atractivas formas geométricas de tipo fractal:

Estos resultados, obviamente, engloban a las congruencias en el Triángulo de Pascal.

En esta miscelánea se presenta un muestrario de las congruencias que acontecen en el paralelogramo de Newton para los números primos hasta el treinta y uno, representándose los coeficientes binomiales de índice superior en el rango desde -999 a 999 y de índice inferior de 0 a 999.

OBJETIVOS

• Observar las regularidades geométricas que acontecen en el paralelogramo de Newton al considerar congruencias numéricas con números primos.
• Salvar el cálculo computacional necesario para obtener estas representaciones gráficas y poder realizar comparaciones entre ellas
• Invitar a abordar la formalización analítica de las regularidades que acontecen.

INSTRUCCIONES

Al iniciar la escena, en la parte central, se muestra una imagen con las congruencias numéricas de los coeficientes binomiales módulo dos. Se han coloreado en color naranja aquellos que son divisibles por dos. Cada pixel se corresponde con un coeficiente binomial.

Hay que indicar que a medida que aumenta el número de filas y columnas la representación de este paralelogramo numérico entraña cierta dificultad para su visualización global y adicionalmente conlleva una elevado cálculo computacional, por ello se ha obtado por ofrecer este muestrario y así poder observar ágilmente las regularidades que acontecen. Todos los gráficos se han realizado con la escena "Congruencias en el paralelogramo de Newton".

En la parte superior de la escena pueden observarse dos controles cuya funcionalidad es la siguiente:

• Escala: Permite modificar la escala a la que se representa la imagen del paralelogramo de Newton.
• Selector del módulo de la congruencia. Al seleccionar unos de los números primos ofertados se muestra la imagen correspondiente a la congruencia con ese módulo.

BIBLIOGRAFIA

Para iniciarse en la justificación analítica de estas regularidades puede consultarse el artículo divulgador: "Teoremas coloridos" y los artículos ahí reseñados de H. Joris, C. Oestreicher, J. Steinig (1985) y S. Hong (2016).