INDICACIONES

INTRODUCCIÓN

El triángulo de Pascal o de Tartaglia agrupa a todos los coeficientes que aparecen en el desarrollo binomial de potencias de exponente natural, los números que lo componen son los denominados como números combinatorios. Este triángulo se obtiene apoyándose en la siguiente propiedad que verifican estos números:

Cada elemento en la fila n+1 de ese triángulo se obtiene sumando dos elementos de la fila anterior, justo los ubicados encima de él y de ahí que se genere esa estructura geométrica triangular.
Newton observó que si se aplicaba el anterior procedimento recursivo en sentido inverso, hacia lo que serían "filas negativas", se obtenía un "paralelogramo" en el que cada línea tenía infinitos términos y estos permitían expresar, de manera análoga, el desarrollo binomial para el caso de exponentes enteros negativos, si bien este desarrollo sería ahora infinito (una serie).

Así pues, extendiendo la definición del número combinatorio n sobre k para índices superiores que sean enteros negativos —que ahora denominaremos coeficientes binomiales— se obtiene la misma expresión del desarrollo binomial para todos los enteros:

OBJETIVOS

  1. Conocer la extensión que Newton realizó sobre el triángulo de Pascal.
  2. Aprender la definición de los números combinatorios (coeficientes binomiales) cuando el índice superior es un número entero (positivo o negativo).
  3. Observar el "paralelogramo" de Newton y las regularidades geométricas que en él se observan.

INSTRUCCIONES

Al iniciar la escena, en la parte central, se muestra el que hemos denominado paralelogramo de Newton, obtenido como extensión del triángulo de Pascal. Se reflejan los números combinatorios o coeficientes binomiales de índice superior entre -9 y 9 y de índice inferior desde 0 a 9. En el lateral izquierdo del paralelogramo, en azul, se muestra el índice superior y en los lados superior e inferior, también en azul, los índices inferiores.
Hay que indicar que la representación de este paralelogramo numérico entraña dos dificultades principales a medida que se incrementa la cantidad de números a visualizar:
  • El espacio que ocupa la escritura de cada coeficiente binomial y que progresiva y rápidamente va incrementándose.
  • El tiempo de cálculo necesario para ubicar, desplazar, representar en la tabla dichos coeficientes y para poder escalarla.
Es por ello que tendremos que considerar algunas restricciones o limitaciones que iremos señalando posteriormente y, a su vez, se observará cierta lentitud en la respuesta a nuestras interacciones con la escena cuando se requieran muchas filas y columnas (la exigencia de cálculo habrá que compensarla con un poquito de paciencia). Obviamente dichas limitaciones pueden modificarse editando la escena.
Adicionalmente, el cálculo de los coeficientes, que como se ha indicado se realiza por recursividad apoyándose en los coeficientes de la fila anterior, conduce a números enteros que superan el número designado como MAX_SAFE_INTEGER y que en javascript es 253-1 (algo superior a 9 mil billones). Así pues, en esos casos no se refleja el coeficiente y se colorea la casilla donde iría ubicada con un fondo rojizo (este rojo puede verse matizado si el control "color", que se describe posteriormente, está activo). Para índices superiores positivos, los primeros coeficientes en esta situación acontecen a partir de la fila 56 y para negativos aparecen antes.
En la parte superior de la escena pueden observarse diferentes controles cuya funcionalidad es la siguiente:
  • Escala: Permite modificar la escala a la que se representa el paralelogramo de Newton. El número de cifras que tienen los coeficientes binomiales aumenta rápidamente y por tanto es necesario acudir a este control para visualizarlos globalmente. No obstante, manteniendo la escala, con el ratón o con el dedo en dispositivos táctiles se puede abordar el desplazamiento de la tabla en cualquier dirección.
  • Selector de inclinación: Debajo del control de escala se cuenta con una barra de desplazamiento con la que puede modificarse la inclinación del paralelogramo y representarlo, si se desea, como un rectángulo.
  • Filas: Número de filas correspondientes a cada familia de coeficientes binomiales a representar, tanto de índice superior positivo como negativo. Por ejemplo, para 10 filas se representan los números combinatorios de índice superior desde -9 a 9. Cada fila queda etiquetada con su respectivo índice superior. En la escena el rango se ha restringido desde -175 a 175.
  • Columnas: Número de columnas correspondientes a cada familia de coeficientes binomiales a representar. Por ejemplo, para 10 columnas se representan los números combinatorios de índice inferior desde 0 a 9. En la escena el rango se ha restringido a un máximo de 100 columnas.
  • Selección paralelogramo o triángulo: mediante este menú puede seleccionarse la representación del paralelogramo de Newton o el triángulo de Pascal. En este último caso, dado que el espacio que se necesita en cada columna para acoger a los números combinatorios es diferente, el triángulo presenta cierta "deformación".
  • Números: Permite representar el valor de cada coeficiente binomial o bien ocultarlos y, en este caso, sólo reflejar mediante colores la relación de congruencia de cada uno respecto a un divisor y resto elegido. Al indicar "No" en esta opción se activa la opción color a "Sí".
  • Color: Al seleccionar "Sí" en este control se mostrarán dos controles adicionales: divisor y resto, de manera que se reflejará en la tabla con fondo naranja todos los coeficientes binomiales que sean congruentes con el resto indicado y con módulo el divisor. Por defecto se asigna el valor de 2 al divisor y 0 al resto, pero pueden cambiarse. Mediante esta coloración pueden observarse pautas geométricas de cómo se distribuyen estos coeficientes. Se dispone de esta otra miscelánea en la que pueden observarse mejor estas regularidades al omitirse la representación de los coeficientes binomiales y al asignar igual espacio a todas las casillas de la tabla.