INTRODUCCIÓN

Problemas Clásicos. La "Duplicación del cubo".

Dado un cubo de arista a, el problema consiste en construir, usando sólo la regla y el compás, la arista x de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen del cubo dado.

Éste es el enunciado clásico que no pudo ser resuelto por los matemáticos de la antigüedad griega pues la solución pasaba por obtener el valor de la raíz cúbica de 2; esto no es posible con el método de la regla y el compás y requería el empleo de herramientas y técnicas diferentes.

Hipócrates  de Chíos (470–410 aC) demostró que tal problema se reduce a encontrar dos medias proporcionales:

Si para una línea de longitud  se necesita encontrar una longitud tal que , es decir , basta con hallar dos medidas  e  tales que sean medias proporcionales entre y , es decir,

 

pues en estas condiciones se cumplirá que

A Eratóstenes(276-194 aC), se le atribuye una solución mecánica del problema de las medias proporcionales (el Mesolabio), un instrumento formado por una plancha rectangular grande sobre la que se sitúan tres planchas rectangulares iguales entre si y más pequeñas que la primera y tales que, una es fija y las otras dos móviles, según se detalla en la información de la escena y en los gráficos siguientes.

El segmento LT tiene longitud a y el AD tiene longitud 2a

mesolabio Paso intermedio

Las medias proporcionales son: HS y EP en consecuencia x e y

• Para obtener las dos medias proporcionales entre a y 2a es necerario que AD mida 2a y LT mida a.

• Los controles gráficos A, G y K pueden desplazarse de forma restringida ya que su objetivo es facilitar el encuentro de la solución.

• La determinación de los segmentos medios proporcionales se consigue según se detalla, más adelante, en la información de la escena. Este video  facilita el uso del mesolabio.

• En las Instrucciones contenidas en estas Indicaciones se puede ver otro vídeo que muestra la interación del usuario  con la escena  que incluye otros controles además del mesolabio y aporta información sobre el cubo inicial y el cubo solución del problema.
  

El proceso determina los triángulos rectángulos semejantes OAD, OEP, OHS y OLT y aplicando la proporcionalidad correspondiente entre cada par de ellos se obtiene  la altura HS  de OHS que es la medida del lado del cubo de volumen doble.

 Lo anterior se muestra de una forma práctica en el trabajo actual donde, con el aparato desarrollado por Eratóstenes obtendremos la arista del cubo que duplica en volumen a otro dado.

La imagen siguiente se corresponde con la escena inicial de la utilidad y es conveniente analizarla para familiarizarse con los elementos que la conforman:

• En el eje horizontal los controles gráficos : A, G y K que conviene manipular para conocer sus prestaciones.

• En el vertical el segmento AD doble que LT (LT igual a la arista del cubo inicial)

• Las poligonales GHJ y KLN que juegan un papel determinante en el desarrollo de la escena.

• Un pulsador:

  • arista, que establece la longitud de la arista del cubo inicial entre [1, 3].

• Tres botones:

  • Información , conviene usarlo antes de realizar cualquier otra acción.

  • Créditos

  • Botón inicio, restaura la escena al momento inicial
  
  
• El control gráfico A (punto botón) que se desplaza verticalmente para facilitar la visión y/o entendimiento de la escena.

OBJETIVOS

INSTRUCCIONES

El siguiente video muestra la interacción con todos los controles de la escena:

Si tal y como indica la información de la escena ponemos los controles G y K, el primero ligeramente a la izquierda de E y el segundo a la izquierda de H entonces observamos que se muestra un contenido similar al mostrado en el vídeo

Ajustando la posición de G y K  se alinean los puntos D, P, S y T y se muestran P, S y O y el cubo solución de volumen doble al inicial. 

 

1. Seleccionamos un valor (entre 1 y 3) de la arista del cubo inicial.

2. Arrastramos el control gráfico punto G a la izquierda del punto E de tal manera que coincidan en un punto P las rectas  JH, EF y DT

3. Arrastramos el control gráfico punto K a la izquierda del punto H de tal manera que coincidan en un punto S las rectas  NL, HI y DT

4. El mesolabio queda listo para medir el lado HS que duplica el cubo, cuando D, P, S y T quedan alineados

5. Además observamos que se muestra el error cometido en la solución que puede y debe minimizarse hasta las 5, 6 o 7 milésimas, según el caso, manipulando los pulsadores G.x y K.x que ajustan respectivamente las coordenadas de los puntos G y K.

Si se tiene interés en avanzar en el conocimiento de esta rudimentaria máquina (considerada, tal y como se construyó, la primera calculadora de la historia) puede buscarse en la Wikipedia o en cualquier buscador de Internet.

La escena está programada con cierta holgura con el fin de facilitar la determinación del segmento HS.