Según Puertas Castaños M.L. (1991) "Los Elementos" es un arquetipo del denominado método axiomático y que se adelanta a la axiomática de Dedekind, Peano, Hilbert, Russell y Gödel, este último con su famoso "teorema de la incompletitud", pero no puede catalogarse como emblema de la sistematización axiomática, sino que es una "axiomatización" en ciernes. Un conjunto es una axiomática euclídea si y solo si: 1) Es un conjunto, posiblemente infinito, de proposiciones cerrado respecto a la relación de consecuencia lógica. 2) Hay un conjunto finito cuyos miembro son verdades primera inmediatas y autoevidentes llamados axiomas. 3) Cualquier otra proposición de la axiomática que no sea un axioma es una verdad demostrable a partir de los axiomas. ___________________________________ "Los Elementos" parten de veintitres definiciones, cinco postulados y ocho nociones comunes. Y en base a ellos, por ejemplo, en el libro I plantea 48 proposiciones. El quinto postulado de Euclides, históricamente ha sido considerado como una proposición demostrable y se han realizado continuos intentos para lograr su demostración. La razón estribaba en el hecho de contar con una formulación que no es directa o explícita como los otros cuatro postulados. La adopción de una postura antitética, consistente en negar ese postulado, fue mucho más productiva y dio lugar al establecimiento de Geometrías euclídeas y Geometrías no euclídeas. ___________________________________ Puede ser útil y necesario, clarificador, hacer un detalle de los términos usualmente utilizados. Proposición: Enunciado de una hipótesis o suposición y de una tesis o conclusión, que es consecuencia de la hipótesis. Axioma: Es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no necesita demostración. Teorema: Proposición que para ser evidente necesita demostración. Postulado: Proposición que se admite sin demostración, aunque sin la evidencia del axioma. Lema: Teorema preliminar que sirve de base para demostrar otras proposiciones. Corolario: Consecuencia que se deduce de forma simple de un teorema ya demostrado. Escolio: Advertencia o nota que se hace con el fin de aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores Problema: Cuestión que se propone con el fin de aclararla o resolverla.