Proposición 15 Si dos rectas se cortan, hacen los ángulos del vértice iguales entre sí. Proposición 27 Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entres sí, las dos rectas serán paralelas entre sí. Proposición 28 Si una recta al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos rectos, las rectas serán paralelas entre sí. Proposición 29 La recta que incide sobre rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales entre sí, y el (ángulo) externo igual al interno y opuesto, y los (ángulos) internos del mismo lado iguales a dos rectos. La demostración de estas proposiciones requiere utilizar y aplicar el quinto postulado de Euclides