# Solución

Una vez más, podemos escribir casi de inmediato los límites de integración y, por lo tanto, podemos proceder rápidamente a evaluar los momentos de inercia. Usando la fórmula enunciada anteriormente, los momentos de inercia del tetraedro $Q$ alrededor del plano $xy$, el plano $xz$ y el plano $yz$ son

$$I_x = \iiint_Q \big(y^2+z^2\big)\rho(x,y,z)dV$$ $$I_y = \iiint_Q \big(x^2+z^2\big)\rho(x,y,z)dV$$

y

$$I_z = \iiint_Q \big(x^2+y^2\big)\rho(x,y,z)dV$$

con $\roh(x,y,z) = x^2yz$

Procediendo con los cálculos, obtenemos:

$$I_x = \iiint_Q \big(y^2+z^2\big)x^2yz = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y} \big(y^2+z^2\big)x^2yzdzdydz = \frac{117}{35} \approx 3.343$$ $$I_y = \iiint_Q \big(x^2+z^2\big)x^2yz = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y} \big(x^2+z^2\big)x^2yzdzdydz = \frac{684}{35} \approx 19.543$$ $$I_z = \iiint_Q \big(x^2+y^2\big)x^2yz = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y} \big(x^2+y^2\big)x^2yzdzdydz = \frac{729}{35} \approx 20.829$$

Por tanto, los momentos de inercia del tetraedro $Q$ alrededor del plano $yz$, el plano $xz$ y el plano $xy$ son $117/35, 684/35$ y $729/35$, respectivamente.