# Solución

Sea $P (x, y) = e^x sen\; y$ y $Q (x, y) = e^xcos\; y$. Observa que el dominio de $\bold{F}$ es todo de dos espacios, que está simplemente conectado. Por lo tanto, podemos verificar las parciales cruzadas de $\bold{F}$ para determinar si $\bold{F}$ es conservativo. Ten en cuenta que $P_y = e^xcos\; y = Q_x$, por lo que $\bold{F}$ es conservativo. Dado que $Px = e^x sen\; y$ y $Q_y = e^x sen \;y, P_x + Q_y = 0$ y el campo está libre de fuentes.

Para encontrar una función potencial para $\bold{F}$, sea $f$ una función potencial. Entonces, $\nabla f = \bold{F}$, entonces $fx = e^x sen\; y$. La integración de esta ecuación con respecto a $x$ da $f (x, y) = e^xsen\; y + h (y)$. Como $f_y = e^xcos \;y$, la diferenciación de $f$ con respecto a $y$ da $e^xcos\; y = e^xcos\; y + h^{\prime}(y)$. Por lo tanto, podemos tomar $h (y) = 0$, y $f (x, y) = e^xsen\; y$ es una función potencial para $f$.

Para verificar que $f$ es una función armónica, ten en cuenta que $f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (e^x sen\;y) = e^xsen\;y$ y $f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (e^x cos\;y) = -e^xsen\;y$

Por lo tanto, $f_{xx} + f_{yy} = 0$ y $f$ satisface la ecuación de Laplace.