# Solución

Supón que $f$ es una función potencial. Entonces, $\nabla f = \bold{F}$ y por lo tanto

$$f_x = \frac{-Gx}{\big(x^2+y^2\big)^{3/2}}$$

Para integrar esta función con respecto a $x$, podemos usar la sustitución de $u$. Si $u = x^2 + y^2$, entonces $\frac{du}{2} = xdx$, entonces

$$\begin{aligned} \int \frac{-Gx}{\big(x^2+y^2\big)^{3/2}}dx &= \int \frac{-G}{2u^{3/2}}du\\ &= \int \frac{G}{\sqrt{u}} + h(y)\\ &= \frac{G}{\sqrt{x^2+y^2}} + h(y) \end{aligned}$$

para alguna función $h (y)$. Por lo tanto,

$$f(x,y) = \frac{G}{\sqrt{x^2+y^2}} + h(y)$$

Dado que $f$ es una función potencial para $\bold{F}$

$$f_y = \frac{-Gy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Dado que $ f (x, y) = \frac{G}{\sqrt{x^2+y^2}} + h(y)$, $f_y$ también es igual a $\frac{-Gy}{\sqrt{x^2+y^2}} + h^{\prime}(y)$

Por lo tanto

$$\frac{-Gy}{\sqrt{x^2+y^2}} + h^{\prime}(y) = \frac{-Gy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

lo que implica que $h^{\prime}(y) = 0$. Por tanto, podemos tomar $h (y)$ como cualquier constante; en particular, podemos dejar $h (y) = 0$.

La función

$$f(x,y) = \frac{G}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

es una función potencial para el campo gravitacional $\bold{F}$. Para confirmar que $f$ es una función potencial, ten en cuenta que

$$\begin{aligned} \nabla f &= \bigg\lang -\frac12 \frac{G}{(x^2+y^2)^{3/2}}(2x), -\frac12 \frac{G}{(x^2+y^2)^{3/2}}(2y)\bigg\rang\\ &= \bigg\lang \frac{-Gx}{(x^2+y^2)^{3/2}}, \frac{-Gy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\bigg\rang\\ &= \bold{F} \end{aligned}$$