# Solución

Usamos la Ecuación 6.9 para calcular $\int_C\bold{F}\cdot d\bold{r}$. La curva $C$ se puede parametrizar mediante $\bold{r} (t) = \lang 2t, 2t\rang , 0 \le t \le 1$. Entonces, $\bold{F}(\bold{r} (t)) = \lang 4t, 8t\rang$ y $\bold{r}^{\prime}(t) = \lang 2, 2\rang$, lo que implica que

$$\begin{aligned} \int_C \bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_0^1 \lang 4t, 8t\rang \cdot \lang 2, 2\rang dt\\ &= \int_0^1 (8t + 16t)dt = \int_0^1 24t dt\\&= \bigg[12t^2\bigg]_0^1 = 12 \end{aligned}$$

Figura 6.28. El valor de la integral de línea $\int_C\bold{F}\cdot d\bold{r}$ depende sólo en el valor de la función potencial de $\bold{F}$ en los puntos finales de la curva.

Observa que $F = \nabla f$, donde $f (x, y) = x^2 + 2y^2$. Si pensamos en el gradiente como una derivada, entonces $f$ es una "antiderivada" de $\bold{F}$. En el caso de integrales de una sola variable, la integral de la derivada $g^{\prime}(x)$ es $g (b) - g (a)$, donde $a$ es el punto de inicio del intervalo de integración y $b$ es el punto final. Si las integrales de línea vectoriales funcionan como integrales de una sola variable, entonces esperaríamos que la integral $\bold{F}$ fuera $f\big(P_1\big) - f\big(P_0\big)$, donde $P_1$ es el punto final de la curva de integración y $P_0$ es el punto de inicio. Ten en cuenta que este es el caso de este ejercicio:

$$\int_C \bold{F}\cdot d\bold{r} = \int_C \nabla f\cdot d\bold{r} = 12$$

y

$$f(2, 2) − f(0, 0) = 4 + 8 − 0 = 12$$

En otras palabras, la integral de una "derivada" se puede calcular evaluando una "antiderivada" en los puntos finales de la curva y restando, al igual que para las integrales de una sola variable.