# Solución

Usamos la forma extendida del teorema de Green para mostrar que $\oint_C\bold{F}\cdot d\bold{r}$ es $0$ o $−2\po$; es decir, no importa cuán loca sea la curva $C$, la integral de línea de $\bold{F}$ a lo largo de $C$ solo puede tener uno de dos valores posibles. Consideramos dos casos: el caso en el que $C$ abarca el origen y el caso en el que $C$ no abarca el origen.

Caso 1: $C$ no abarca el origen

En este caso, la región encerrada por $C$ está simplemente conectada porque el único agujero en el dominio de $\bold{F}$ está en el origen. Demostraremos en nuestra discusión de parciales cruzadas que $\bold{F}$ satisface la condición de parciales cruzadas. Si restringimos el dominio de $\bold{F}$ solo a $C$ y la región que encierra, entonces $\bold{F}$ con este dominio restringido ahora se define en un dominio simplemente conectado. Dado que $\bold{F}$ satisface la propiedad de parcial cruzada en su dominio restringido, el campo $\bold{F}$ es conservativo en esta región simplemente conectada y, por lo tanto, la circulación $\oint_C\bold{F}\cdot d\bold{r}$ es cero.

Caso 2: $C$ incluye el origen

En este caso, la región encerrada por $C$ no está simplemente conectada porque esta región contiene un agujero en el origen. Sea $C_1$ un círculo de radio $a$ centrado en el origen de modo que $C_1$ esté completamente dentro de la región encerrada por $C$ (ver siguiente figura). Dá a $C_1$ una orientación en el sentido de las agujas del reloj.

Figura 6.46. Elige el círculo $C_1$ centrado en el origen que está contenido completamente dentro de $C$.

Sea $D$ la región entre $C_1$ y $C$, y $C_4$ está orientada en sentido antihorario. Según la versión extendida del teorema de Green

$$\begin{aligned} \int_C \bold{F}\cdot d\bold{r} + \int_{C_1} \bold{F}\cdot d\bold{r} &= \iint_D (Q_x - P_y)dA\\ &= \iint_D - \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}+ \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} dA\\ &= 0 \end{aligned}$$

y por lo tanto

$$\int_C \bold{F}\cdot d\bold{r} = -\int_{C_1} \bold{F}\cdot d\bold{r}$$

Dado que $C_1$ es una curva específica, podemos evaluar $int_{C_1} \bold{F}\cdot d\bold{r}$, haciendo

$$x = acos\;t, y = sen\;t, 0 \le t \le 2\pi$$

una parametrización de $C_1$. Luego,

$$\begin{aligned} \int_{C_1} \bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_0^{2\pi} \bold{F}(\bold{r}(t))\cdot \bold{r}^{\prime}(t)dt\\ &= \int_0^{2\pi} \big\lang -\frac{sen\;t}{a}, -\frac{cos\;t}{a}\big\rang \cdot \lang -asen\;t, -acos\;t\rang dt\\&= \int_0^{2\pi} (sen^2r + cos^2t) dt = \int_0^{2\pi} dt = 2\pi \end{aligned}$$

Por lo tanto $\int_C \bold{F}\cdot ds = -2\pi$