# Solución

1. Usa las fórmulas de conversión para escribir las ecuaciones de la esfera y el cono en coordenadas esféricas. Para la esfera: $$\begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &= z\\ \rho^2 &= \rho cos\phi\\ \rho &= cos\phi \end{aligned}$$ Para el cono: $$\begin{aligned} z &= \sqrt{x^2+y^2}\\ \rho cos\phi &= \sqrt{\rho^2sen^2\phi cos^2\phi + \rho^2sen^2\phi sen^2\phi}\\ \rho cos\phi &= \sqrt{\rho^2sen^2\phi(cos^2\phi + sen^2\phi)}\\ \rho cos\phi &= \rho sen\phi\\ cos\phi &= sen\phi\\ \phi &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$ Por lo tanto, la integral para el volumen de la región sólida $E$ se convierte en $$V(E) = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=\pi/4}\int_{\rho=0}^{\rho=cos\phi}\rho^2 sen \phi d\rho d\phi d\theta$$
2. Considera el plano $\phi\rho$. Ten en cuenta que los rangos para $\phi$ y $\rho$ (del inciso a.) Son $$0 \le \phi \le \pi/4$$ $$0 \le \rho \le cos\phi$$ La curva $\rho = cos \phi$ se encuentra con la línea $\phi = \pi/4$ en el punto $(\pi/4, \sqrt{2}/2)$. Por lo tanto, para cambiar el orden de integración, necesitamos usar dos piezas: $$0 \le \rho \le \sqrt{2}/2$$ $$0 \le \phi \le \pi/4$$ y $$\sqrt{2}/2 \le \rho \le 1$$ $$0 \le \phi \le cos^{-1}\rho$$ Por lo tanto, la integral para el volumen de la región sólida $E$ se convierte en $$V(E) = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{\rho=0}^{\rho=\sqrt{2}/2}\int_{\phi=0}^{\phi=\pi/4}\rho^2 sen \phi d\phi d\rho d\theta + \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{\rho=\sqrt{2}/2}^{1}\int_{\phi=0}^{\phi=cos^{-1}\rho}\rho^2 sen \phi d\phi d\rho d\theta$$ En cada caso, la integración resulta en $V (E) = \frac{π}{8}$