# Solución

El valor máximo de la derivada direccional ocurre cuando $\nabla f$ y el vector unitario apuntan en la misma dirección. Por lo tanto, comenzamos calculando $\nabla (x, y)$:

$$\begin{aligned} f_x(x, y) &= 6x − 4y \text{ y } f_y(x, y) = −4x + 4y, luego\\ \nabla f(x, y) &= f_x(x, y)\bold{i} + f_y(x, y)\bold{j} = (6x − 4y)\bold{i} + (−4x + 4y)\bold{j}\\ \end{aligned}$$

A continuación, evaluamos el gradiente en $(−2, 3)$:

$$\nabla f(−2, 3) = \big(6(−2) − 4(3)\big)\bold{i} + \big(−4(−2) + 4(3)\big)\bold{j} = −24\bold{i} + 20\bold{j}$$

Necesitamos encontrar un vector unitario que apunte en la misma dirección que $\nabla f (−2, 3)$, por lo que el siguiente paso es dividir $\nabla f (−2, 3)$ por su magnitud, que es $\sqrt{(-24)^2+20^2} = \sqrt{976} =4\sqrt{61}$. Por lo tanto

$$\frac{\nabla f(−2, 3)}{||\nabla f(−2, 3)||} = \frac{-24}{4\sqrt{61}}\bold{i} + \frac{20}{4\sqrt{61}}\bold{j} = \frac{-6\sqrt{61}}{61}\bold{i} + \frac{5\sqrt{61}}{61}\bold{j}$$

Este es el vector unitario que apunta en la misma dirección que $\nabla f (−2, 3)$. Para encontrar el ángulo correspondiente a este vector unitario, resolvemos las ecuaciones

$$cos\theta = \frac{-6\sqrt{61}}{61}\text{ y }sen\theta=\frac{5\sqrt{61}}{61}$$

para \thtea. Como el coseno es negativo y el seno es positivo, el ángulo debe estar en el segundo cuadrante. Por lo tanto, $\theta = \pi - arcsen\big((5\sqrt{61}/61)\big) \approx 2.45\text{} rad$.

El valor máximo de la derivada direccional en $(−2, 3)$ es $|| \nabla f (−2, 3) || = 4\sqrt{61}$ (ver la siguiente figura).

Figura 4.42. El valor máximo de la derivada direccional en $(−2, 3)$ está en la dirección del gradiente.