# Solución

La región D para la integración es la base del cono, que parece ser un círculo en el plano $xy$ (ver la siguiente figura).

Figura 5.37. Encontrar el volumen de un sólido dentro del cono y encima del plano $xy$.

Encontramos la ecuación del círculo estableciendo $z = 0$:

$$\begin{aligned} 0 &= 2-\sqrt{x^2+y^2}\\ 2 &= \sqrt{x^2+y^2}\\ x^2+y^2 &= 4 \end{aligned}$$

Esto significa que el radio del círculo es $2$, por lo que para la integración tenemos $0 \le\theta \le 2\pi$ y $0 \le r \le 2$. Sustituyendo $x = r cos\theta$ e $y = r sen \theta$ en la ecuación $z = 2 - \sqrt{x ^2 + y ^2}$ tenemos $z = 2 - r$. Por lo tanto, el volumen del cono es

$$\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{r=0}^{r=2}(2 − r)r dr d\theta = 2\pi\frac43 = \frac{8\pi}{3}\;\;\text{unidades cúbicas}$$

Análisis

Observa que si tuviéramos que encontrar el volumen de un cono arbitrario con unidades de radio $a$ y altura $h$, entonces la ecuación del cono sería $z = h - \frac{h}{a}\sqrt{x^2+y^2}$.

Todavía podemos usar la figura 5.37 y configurar la integral como $\displaystyle\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{r=0}^{r=a}(h-\frac{h}{a}r)rdrd\theta$.

Evaluando la integral, obtenemos $\frac13 \pi a^2h$.