# Solución

Primero observa la gráfica de la superficie $z = 27 - 2x^2 - y^2$ en la figura 5.9(a) y arriba de la región cuadrada $R_1 = [−3, 3] \times [−3, 3]$. Sin embargo, necesitamos el volumen del sólido delimitado por el paraboloide elíptico $2x^2 + y^2 + z = 27$, los planos $x = 3$ e $y = 3$, y los tres planos de coordenadas.

Figura 5.9. (a) La superficie $z = 27 - 2x^2 - y^2$ sobre la región cuadrada $R_1 = [−3, 3] \times [−3, 3]$. (b) El sólido $S$ se encuentra debajo de la superficie $z = 27 - 2x^2 - y^2$ sobre la región cuadrada $R_2 = [0, 3] \times [0, 3]$.

Ahora veamos el gráfico de la superficie en la figura 5.9(b). Determinamos el volumen $V$ evaluando la integral doble sobre $R_2$:

$$\begin{aligned} V &= \iint_RzdA = \iint_R(27 − 2x^2 − y^2)dA\\ &= \int_{y=0}^{y=3}\int_{x=0}^{x=3}(27 − 2x^2 − y^2)dA\\ &= \int_{y=0}^{y=3}\bigg[27x - \frac23x^3 - y^2x\bigg]\bigg|_{x=0}^{x=3}dy\\ &= \int_{y=0}^{y=3}(64 - 3y^2)dy = 63y - y^3\bigg|_{y=0}^{y=3} = 162 \end{aligned}$$