# Solución

Los rangos de las variables son

$$\begin{aligned} 0 & \le y \le 3\\ 0 & \le x \le \sqrt{9-y^2}\\ \sqrt{x^2+y^2} & \le z \le \sqrt{18-x^2-y^2} \end{aligned}$$

Los dos primeros rangos de variables describen un cuarto de disco en el primer cuadrante del plano $xy$. Por tanto, el rango para $\theta$ es $0 \le \theta ≤ \frac{\pi}{2}$.

El límite inferior $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ es la mitad superior de un cono y el límite superior $z = \sqrt{18 - x^2 −y^2}$ es la mitad superior de una esfera. Por lo tanto, tenemos $0 \le \rho \le 18$, que es $0 \le \rho \le 3\sqrt{2}$.

Para los rangos de $\phi$, necesitamos encontrar dónde se cruzan el cono y la esfera, así que resuelve la ecuación

$$\begin{aligned} r^2+z^2 &= 18\\ \big(\sqrt{x^2+y^2}\big)^2+z^2 &= 18\\ z^2+z^2 &= 18\\ 2z^2 &= 18\\ z^2 &= 18\\ z &= 3 \end{aligned}$$

Co esto, obtenemos

$$\begin{aligned} 3\sqrt{2}cos\phi &= 3\\ cos\phi &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \phi &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

Juntando esto, obtenemos

$$\int_{y=0}^{y=3}\int_{x=0}^{x=\sqrt{9-y^2}}\int_{z=\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{18-x^2-y^2}}(x^2+y^2+z^2) dz dx dy = \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/4}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}\int_{\rho=0}^{\rho=3\sqrt{2}}\rho^4 sen\phi d\rho d\theta d\phi$$