# Solución

1. Para las coordenadas cilíndricas, la transformación es $T (r, \theta, z) = (x, y, z)$ del plano cartesiano $r\theta z$ al plano cartesiano $xyz$ (figura 5.81). Aquí $x = r cos \theta, y = r sen \theta$ y $z = z$. El Jacobiano de la transformación es $$\begin{aligned} J(r,\theta,z) &= \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} cos\theta & -rsen\theta & 0\\ sen\theta & rcos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\\ &= r cos^2\theta + r sen^2\theta = r\big(cos^2\theta + sen^2\theta\big) = r \end{aligned}$$ Sabemos que $r \ge 0$, entonces $| J (r, \theta, z) | = r$. Entonces la integral triple es $$\iiint_D f(x,y,z)dV = \iiint_G f(rcos\theta, rsen\theta,z)rdrd\theta dz$$

   Figura 5.81. La transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas se puede tratar como un cambio de variables de la región $G$ en el espacio $r\theta z$ a la región $D$ en el espacio $xyz$.

2. Para las coordenadas esféricas, la transformación es $T(\rho, \theta, \phi) = (x, y, z)$ desde el plano cartesiano $\rho \theta,\phi$ al plano cartesiano $xyz$ (figura 5.82). Aquí $x = \rho sen \phi cos \theta, y = \rho sen \phi sen \theta$, y $z = \rho cos \phi$. El Jacobiano de la transformación es $$\begin{aligned} J(\rho,\theta,\phi) &= \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{vmatrix}\\ \\ &= \begin{vmatrix} sen\phi cos\theta & -\rho sen\phi sen\theta & \rho cos\phi cos\theta\\ \\ sen\phi sen\theta & -\rho sen\phi cos\theta & \rho cos\phi sen\theta\\ \\ cos\theta & 0 & -\rho sen\phi \end{vmatrix}\\ \end{aligned}$$

   Ampliando el determinante con respecto a la tercera fila:

   $$\begin{aligned} &= cos\phi \begin{vmatrix} -\rho sen\phi sen\theta & \rho cos\phi cos\theta\\ \\ \rho sen\phi sen\theta & \rho cos\phi sen\theta \end{vmatrix} - \rho sen\phi \begin{vmatrix} sen\phi cos\theta & -\rho sen\phi sen\theta\\ \\ sen\phi sen\theta & \rho sen\phi cos\theta \end{vmatrix}\\ &= cos \phi\big(−\rho^2sen \phi cos \phi sen^2\theta − \rho^2sen \phi cos \phi cos^2\theta\big)\\ &\;\;\;\;−\rho sen \phi\big(\rho sen^2\phi cos^2\theta + \rho sen^2\phi sen^2\theta\big)\\ &= −\rho^2sen \phi cos^2\phi\big(sen^2\theta + cos^2\theta\big) − \rho^2sen \phi sen^2\phi\big(sen^2\theta + cos^2\theta\big)\\ &= = −\rho^2\big(sen \phi cos^2\phi − \rho^2sen \phi sen^2\phi\\ &= −\rho^2sen \phi\big(cos^2\phi + sen^2\phi\big) = −\rho^2sen \phi. \end{aligned}$$ Dado que $0 \le \phi ≤ \pi$, debemos tener $sen \phi \ge 0$. Así $| J(\rho, \theta, \phi) | = | −\rho^2sen \phi | = \rho^2sen \phi$.

   Figura 5.82. La transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas se puede tratar como un cambio de variables de la región $G$ en el espacio $\rho \theta \phi$ a la región $D$ en el espacio $xyz$.

   Entonces la integral triple se convierte en $$\iiint_D f(x,y,z)dV = \iiint_G f(\rho sen\phi cos\theta, \rho sen\phi sen\theta, \rho cos\phi)\rho^2 sen\phi d\rho d\phi d\theta$$