# Solución

Hemos usado este tetraedro antes y conocemos los límites de integración, por lo que podemos proceder a los cálculos de inmediato. Primero, necesitamos encontrar los momentos sobre el plano $xy$, el plano $xz$ y el plano $yz$:

$$M_{xy} = \iiint_Q z\rho(x,y,z)dV = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y)} x^2yz^2dzdydx = \frac{54}{35} \approx 1.543$$ $$M_{xz} = \iiint_Q y\rho(x,y,z)dV = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y)} x^2y^2zdzdydx = \frac{81}{35} \approx 2.314$$ $$M_{yz} = \iiint_Q x\rho(x,y,z)dV = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y)} x^3yzdzdydx = \frac{243}{35} \approx 6.943$$

Por lo tanto, el centro de masa es

$$\bar{x} = \frac{M_{yz}}{m}, \bar{y} = \frac{M_{xz}}{m}, \bar{z} = \frac{M_{xy}}{m}$$ $$\bar{x} = \frac{M_{yz}}{m} = \frac{243/35}{108/35} = 2.25$$ $$\bar{y} = \frac{M_{xz}}{m} = \frac{81/35}{108/35} = 0.75$$ $$\bar{z} = \frac{M_{xy}}{m} = \frac{54/35}{108/35} = 0.5$$

El centro de masa para el tetraedro $Q$ es el punto $(1.25, 0.75, 0.5)$