# Solución

Observa que para calcular $\iint_S rot\;\bold{F}\cdot d\bold{S}$ sin usar el teorema de Stokes, necesitaríamos usar la Ecuación 6.19. El uso de esta ecuación requiere una parametrización de $S$. La superficie $S$ es tan complicada que sería extremadamente difícil encontrar una parametrización. Por tanto, los métodos que hemos aprendido en secciones anteriores no son útiles para este problema. En su lugar, usamos el teorema de Stokes, señalando que el límite $C$ de la superficie es simplemente un círculo simple con radio $1$.

La curva de $\bold{F}$ es $\lang 1, 1, 2y\rang$. Por el teorema de Stokes

$$\iint_S rot\;\bold{F}\cdot d\bold{S} = \int_C \bold{F}\cdot\bold{r}$$

donde $C$ tiene parametrización $\bold{r} (t) = \lang −sen\;t, 0, 1 - cos\; t\rang, 0 \le t \le 2\pi$. Por la ecuación 6.9,

$$\begin{aligned} \iint_S rot\;\bold{F}\cdot d\bold{S} &= \int_C \bold{F}\cdot\bold{r}\\ &= \int_0^{2\pi} \lang 1 − cos \;t , 0, − sen \;t \rang\cdot\lang − cos\; t, 0, sen\; t \rang dt\\ &= \int_0^{2\pi} \big(−cos\; t + cos^2t − sen^2t\big)dt\\ &= \bigg[-sen\;t + \frac12sen(2t)\bigg]_0^{2\pi}\\ &= = ( − sen(2\pi) + \frac12 sen(4 \pi ))−( − sen\; 0 + \frac12 sen\; 0)\\ &= 0 \end{aligned}$$