# Solución

Dado que $r$ varía de $0$ a $1$ en el plano $r\theta$, tenemos un disco circular de radio de $0$ a $1$ en el plano $xy$. Dado que $\theta$ varía de $0$ a $\pi/2$ en el plano $r\theta$, terminamos obteniendo un cuarto de círculo de radio $1$ en el primer cuadrante del plano $xy$ (ver figura). Por lo tanto, $R$ es un cuarto de círculo limitado por $x^2 + y^2 = 1$ en el primer cuadrante.

Figura 5.72. Un rectángulo en el plano $r\theta$ se mapea en un cuarto de círculo en el plano $xy$

Para mostrar que $T$ es una transformación uno a uno, supón que $T(r_1, \theta_1) = T(r_2, \theta_2)$ y demuestra como consecuencia que $(r_1, \theta_1) = (r_2, \theta_2)$. En este caso, tenemos

$$\begin{aligned} T(r_1, \theta_1) &= T(r_2, \theta_2)\\ (x_1, y_1) &= (x_2, y_2)\\ (r_1cos\theta_1, r_1sen\theta_1) &= (r_2cos\theta_2, r_2sen\theta_2)\\ r_1cos\theta_1 &= r_2cos\theta_2\\ r_1sen\theta_1 &= r_2sen\theta_2 \end{aligned}$$

Dividiendo las dos últimas igualdades, obtenemos

$$\begin{aligned} \frac{r_1cos\theta_1}{r_1sen\theta_1} &= \frac{r_2cos\theta_2}{r_2sen\theta_2}\\ \frac{cos\theta_1}{sen\theta_1} &= \frac{cos\theta_2}{sen\theta_2}\\ tan\;\theta_1 &= tan\;\theta_2\\ \theta_1 &= \theta_2 \end{aligned}$$

dado que la función tangente es una función uno-uno en el intervalo $0 \le\theta \le \pi/2$. Además, como $0 \lt r \le 1$, tenemos $r_1 = r_2, \theta_1 = \theta_2$. Por lo tanto, $(r_1, \theta_1 = r_2, \theta_2)$ y $T$ es una transformación uno a uno de $G$ a $R$.

Para encontrar $T^{-1}(x, y)$ resuelve para $r, \theta$ en términos de $x, y$. Ya sabemos que $r^2 = x^2 + y^2$ y $tan\;\theta = \frac{y}{x}$. Por tanto, $T^{-1}(x, y) = (r, \theta)$ se define como $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ y $\theta = tan^{-1}\big(\frac yx\big)$.