# Solución

Los vectores tangentes son $\bold{t}_u = \lang 1, −1, 1\rang$ y $\bold{t}_v = \lang 0, 2v, 1\rang$. Por lo tanto

$$\bold{t}_u \times \bold{t}_v = \lang −1 − 2v, −1, 2v\rang$$

De la ecuación 6.21

$$\begin{aligned} \iint_S\bold{F}\cdot\bold{N}dS &= \int_0^4\int_0^3 \bold{F}(\bold{r}(u,v))\cdot (\bold{t}_u \times \bold{t}_v)dudv\\ &= \int_0^4\int_0^3 \lang u − v^2, u, 0 \rang\cdot\lang −1 − 2v, −1, 2v \rang dudv\\ &= \int_0^4\int_0^3 \big[\big(u − v^2\big)(−1 − 2v) − u\big]dudv\\ &= \int_0^4\int_0^3 \big(2v^3 + v^2 − 2uv − 2u\big)dudv\\ &= \int_0^4\bigg[2v^3u + v^2u − vu^2 − u^2\bigg]_0^3 dv\\ &= \int_0^4\big(6v^3 + 3v^2 − 9v − 9\big)dv\\ &= \bigg[\frac{3v^4}{2} + v^3 - \frac{9v^2}{2} - 9v\bigg]_0^4\\ &= 340 \end{aligned}$$

Por lo tanto, el flujo de $\bold{F}$ a través de $S$ es $340$