# Solución

Como antes, algún tipo de bosquejo de la región $G$ en el espacio $xyz$ sobre el cual tenemos que realizar la integración puede ayudar a identificar la región $D$ en el espacio $uvw$ (Figura 5.83). Claramente, $G$ en el espacio $xyz$ está acotado por los planos $x = y / 2, x = (y / 2) + 1, y = 0, y = 4, z = 0$, y $z = 4$. También sabemos que tenemos que usar $u = (2x - y) / 2, v = (y / 2)$ y $w = z / 3$ para las transformaciones. Necesitamos resolver para $x, y$ y $z$. Aquí encontramos que $x = u + v, y = 2v$ y $z = 3w$.

Usando álgebra elemental, podemos encontrar las superficies correspondientes para la región $G$ y los límites de integración en el espacio $uvw$. Es conveniente enumerar estas ecuaciones en una tabla.

Ecuaciones en $\bold{xyz}$ para la región $\bold{D}$ | Ecuaciones correspondientes en $\bold{uvw}$ para la región $\bold{G}$ | Límites para integración en $\bold{uvw}$
$x=y/2$ | $u + v = 2v/2 = v$ | $u=0$
$x=y/2$ | $u + v = (2v/2) + 1 = v + 1$ | $u=1$
$y=0$ | $2v = 0$ | $v=0$
$y=4$ | $2v = 4$ | $v=2$
$z=0$ | $3w = 0$ | $w=0$
$z=3$ | $3w = 3$ | $w=1$

Figura 5.83. La región $G$ en el espacio $uvw$ se transforma en la región $D$ en el espacio $xyz$.

Ahora podemos calcular el jacobiano para la transformación:

$$\begin{aligned} J(u, v,w) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 6 \end{aligned}$$

La función a integrar se convierte en

$$f(x,y,z) = x + \frac{z}{3} = u + v + \frac{3w}{3} = u+v+w$$

Ahora estamos listos para poner todo junto y completar el problema.

$\displaystyle\int_0^3\int_0^4\int_{y/2}^{(y/2)+1} \big(x + \frac{z}{3}\big)dxdydz$

$$\begin{aligned} &=\int_0^1\int_0^2\int_0^1 (u + v + w)|J(u, v, w)|du dv dw = \int_0^1\int_0^2\int_0^1 (u + v + w)|6|du dv dw\\ &= 6\int_0^1\int_0^2\int_0^1 (u + v + w)du dv dw = 6\int_0^1\int_0^2 \bigg[\frac{u^2}{2} + vu + wu\bigg]_0^1 dvdw\\ &= 6\int_0^1\int_0^2 \bigg(\frac12 +v+w\bigg)dvdw = 6\int_0^1\bigg[\frac12 v + \frac{v^2}{2} + wv\bigg]_0^2 dw\\ &= 6\int_0^1((3 + 2w)dw = 6\bigg[3w + e\bigg]_0^1 = 24 \end{aligned}$$