# Solución

Usando las fórmulas que desarrollamos, tenemos.

$$\bar{x} = \frac{M_y}{m} = \frac{\iint_R x\rho(x, y)dA}{\iint_R \rho(x, y)dA} = \frac{81/20}{27/8} = \frac{6}{5}$$ $$\bar{y} = \frac{M_x}{m} = \frac{\iint_R y\rho(x, y)dA}{\iint_R \rho(x, y)dA} = \frac{81/20}{27/8} = \frac{6}{5}$$

Por tanto, el centro de masa es el punto $(\frac{6}{5}, \frac{6}{5})$.

#### Análisis

Si elegimos la densidad $\rho (x, y)$ en lugar de ser uniforme en toda la región (es decir, constante), como el valor 1 (cualquier constante servirá), entonces podemos calcular el centroide,

$$x_c = \frac{M_y}{m} = \frac{\iint_R xdA}{\iint_R dA} = \frac{9/2}{9/2} = 1$$ $$y_c = \frac{M_x}{m} = \frac{\iint_R ydA}{\iint_R dA} = \frac{9/2}{9/2} = 1$$

Observe que el centro de masa $(\frac{6}{5}, \frac{6}{5})$ no es exactamente el mismo que el centroide $(1, 1)$ de la región triangular. Esto se debe a la densidad variable de $R$. Si la densidad es constante, simplemente usamos $\rho (x, y) = c$ (constante). Este valor se cancela de las fórmulas, por lo que para una densidad constante, el centro de masa coincide con el centroide de la lámina.