# Solución

El trabajo realizado por $\bold{F}$ sobre la partícula es la circulación de $\bold{F}$ a lo largo de $C: \oint_C\bold{F}\cdot\bold{T} ds$. Usamos la parametrización $\bold{r} (t) = \lang 2 cos\; t, 2 sen\; t\rang, 0 \le t \le 2\pi$ para $C$. Entonces, $\bold{r}^{\prime}(t) = \lang −2 sen\; t, 2 cos\; t\rang$ y $\bold{F} (\bold{r} ( t)) = \lang −2, 2 sen\; t\rang$. Por lo tanto, la circulación de $\bold{F}$ a lo largo de $C$ es

$$\begin{aligned} \oint_C\bold{F}\cdot\bold{T} ds &= \int_0^{2\pi} \lang −2, 2 sen\; t \rang \cdot \lang −2 sen\; t, 2 cos\; t \rang dt\\ &= \int_0^{2\pi} (4 sen\: t + 4 sen \;t cos\; t)dt\\ &= \bigg[-4cos\;t + 4sen^2t\bigg]_0^{2\pi}\\ &= \big(−4 cos(2\pi) + 2 sen^2(2\pi)\big) − \big(−4 cos(0) + 4 sen^2(0)\big)\\ &= - 4 + 4 = 0 \end{aligned}$$

El campo de fuerza no realiza ningún trabajo sobre la partícula. Observa que la circulación de $\bold{F}$ a lo largo de $C$ es cero. Además, observa que dado que $\bold{F}$ es el gradiente de $f (x, y) = −2x + \frac{y^2}{2}$, $\bold{F}$ es conservativo. Demostramos en una sección posterior que bajo ciertas condiciones generales, la circulación de un campo vectorial conservativo a lo largo de una curva cerrada es cero.