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Unidad 5.2
Movimientos en el Plano
Propósito
Que el
alumno amplíe su noción de simetría, determine las
propiedades de los diferentes tipos aquí expuestos (axial,
central y de traslación), y que construya creativamente
diseños que combinen los conceptos aprendidos. Asimismo, que se
discuta en clase el cómo se aplican los modelos
matemáticos a la realidad.
Instrucciones Generales
Esta unidad contiene cinco apartados:
- Dibujo
- Propiedades
- Simetrías
- Realidad
- TANGRAM
Brinda acceso a la ayuda de las escenas interactivas
1.
Dibujo
El
apartado Dibujo permite experimentar las
simetrías de forma creativa, dibujando en un espacio que cuenta
con una o dos simetrías axiales, o con una central.
En la segunda sección de esta actividad se puede explorar la
simetría de traslación en
un mosaico, junto con las anteriores.
Dibujo 1
Oprime el botón Demo para ver un video explicativo
sobre las herramientas de esta escena. En
el área blanca es
posible pintar directamente con el dedo, no
es correcto utilizar los plumones del pizarrón
electrónico para este apartado, con ellos no se activa el
programa.
Los botones de esta escena
son:
- Dibujo
Libre: Permite pintar libremente sin simetrías.
- Un eje: Permite pintar en el área
blanca con simetría
axial de un eje.
- Dos ejes: Permite
pintar en el área blanca con simetría axial de dos ejes
perpendiculares.
- Punto: Permite
pintar en el área blanca con simetría central.
-
Mover
ejes: Cuando están seleccionados los ejes, coloca un control
de rondana que permite girar los ejes a otra posición.
Para girarlos sólo hay que arrastrar el aro rojo hasta llegar a
la posición deseada. (En esta escena no es posible trasladar los
ejes, solo rotarlos)
- Limpiar:
Borra el
dibujo creado.
Sugerencias
didácticas
El
apartado Dibujo está diseñado para mejorar la
experiencia de los alumnos con dos tipos de simetrías axiales y
con la simetría central. Asimismo introduce el
concepto de simetría de traslación. (En algunas partes
puede referirse a esta simetría como simetría
traslacional)
Esta
actividad está sugerida para explicar las definiciones de la
unidad. Puede seguirse el siguiente guión de clase:
-
Recuérdese
la simetría axial con un eje, vista en primero de secundaria,
pintando algo en el área blanca.
-
Utilizando
el botón "Dos ejes" muéstrese que esta simetría
puede enriquecerse. Se puede comenzar dibujando unos cuantos puntos en
la pantalla a la vez que los alumnos intentan describir con palabras lo
que sucede con el punto simétrico que el programa dibuja.
Posteriormente es útil pedirle a los alumnos que den ejemplos de
objetos reales que tengan simetría de dos ejes.
-
La
simetría central se explica de manera similar a la anterior
presionando el botón Punto y
dibujando algo en el área
blanca.
Una
vez terminada la descripción puede hacerse una
demostración utilizando todas las herramientas como la
siguiente.
Primero,
utilizando 2 ejes dibujamos un caparazón de tortuga y sus
patas.
Pueden girarse los ejes para
un mayor atractivo visual.
Después, utilizando solo un eje
pintamos la cola, la
cabeza y los ojos.
Por
último, utilizando el Punto
dibujamos unas ondas de agua. Haga
énfasis en que ésta es la simetría central.
Presionando
la flecha verde se pasa
a la escena siguiente donde los alumnos pueden experimentar
la simetría de traslación.
Nota: El concepto de simetría entendido
aquí es, dado un movimiento del plano al que llamaremos
simetría, diremos que un objeto determinado es simétrico
con respecto a tal movimiento, si al aplicárselo, se ve
igual. (En general
en vez de movimientos se habla de transformaciones).
Dibujo 2
Oprima
el botón Demo para ver
un video explicativo sobre las
herramientas de esta escena. En el área blanca es posible
pintar directamente con el dedo, no se
utilicen los plumones del pizarrón electrónico para este
apartado, con ellos no se activa el programa.
Los botones de esta escena
son:
- Patrón
1:
Activa el área blanca para que el dibujo pintado en el interior
del cuadrado se traslade horizontalmente y verticalmente.
- Patrón
2: Activa el
área blanca para que el dibujo pintado en el interior del
cuadrado se traslade horizontalmente y se refleje verticalmente.
- Patrón
3: Activa el
área blanca para que el dibujo pintado en el interior del
cuadrado se refleje horizontalmente y verticalmente.
- Retícula:
Muestra una cuadrícula que permite entender un poco más
que sucede con la simetría.
- Limpiar: Limpia
el área blanca.
Puede escogerse el
color con el que se pinta tocándolo en el círculo
cromático.
Sugerencias
didácticas
Los
alumnos pueden diseñar un mosaico cuadrado con trazos simples en
su cuaderno (los trazos con
plumón o crayola en un cuadrado de 5 cm de lado son
suficientemente simples para imitar el funcionamiento del programa),
al finalizar, se puede escoger
a 3 de ellos para que pasen a dibujarlo al pizarrón activando uno
de los botones de Patrones (pueden
usar colores). Los alumnos
que pasan a pintar
pueden describir al resto de la clase las simetrías que aparecen
en pantalla.
Si se
imagina que se está viendo un pedazo de un mosaico infinito
puede hablarse de simetría de traslación.
Imagínese (en el "Patrón 1") que se mueve todo el espacio
una unidad a la derecha, encimando cada cuadrado sobre el espacio de su
vecino derecho. Este movimiento deja exactamente igual el dibujo.
¿Qué otras simetrías de traslación hay en
este "Patrón 1"? ¿y en los demás?
Los alumnos pueden
encontrar todas las simetrías (central, axial y
de traslación) que se observan en los diferentes patrones.
Haciendo equipos, se les puede pedir a los alumnos que
diseñen en su cuaderno
una pieza cuadrada con las siguientes propiedades:
- No debe haber círculos pintados en la pieza.
- Al armar el mosaico, como en Patrón 1 deben
aparecer círculos.
Verifíquense algunas
respuestas utilizando el
programa. Repetir el ejercicio utilizando los otros 2 patrones.
Otra
posible actividad extra es dejar de tarea el dibujar un mosaico
armado como ellos quieran, pero que cumpla alguna simetría como
las vistas en clase. Se escoge el dibujo más bonito
para que su autor pase al frente y explique las simetrías que
utilizó. Los demás alumnos escriben atrás de su
dibujo las simetrías que usaron antes de la entrega.
2.
Propiedades
El
apartado
Propiedades nos permite explorar las características de
la reflexión (simetría axial), la traslación
(simetría de traslación) y la rotación (la simetría central es un
caso particular cuando el ángulo de rotación es de
180°) de figuras geométricas simples. Se
recomienda utilizar este apartado para ejemplificar las definiciones
sobre los diferentes movimientos en el plano y para aclarar la
definición de simetría. El maestro puede utilizar
también esta actividad para comenzar a explorar la
composición de simetrías.
Nota: De acuerdo a la definición
utilizada, dada una transformación del plano, decimos que una determinada figura es simétrica
con respecto a esa transformación si, al aplicarla a la figura,
ésta queda prácticamente igual.
Instrucciones
Pueden modificarse las
figuras mostradas en pantalla moviendo los círculos que las
definen. Igualmente los movimientos tienen sus correspondientes
controles circulares.
Los
botones de esta escena son los siguientes:
-
Trasladar:
Activa la flecha para
trasladar las figuras que se
muestran en pantalla. Ésta puede editarse moviendo sus extremos.
-
Rotar:
Activa el ángulo de
rotación para rotar las figuras que se muestren en pantalla con
respecto al centro del control. Puede moverse el centro de
rotación y modificarse el ángulo moviendo los
círculos correspondientes.
-
Reflejar:
Activa la recta de
reflexión, la cual puede moverse arrastrando el centro del
control (círculo rosa), y girarse, arrastrando la perilla
(aro rojo).
-
Guías:
Muestra u oculta
rectas y arcos que permiten entender mejor la rotación y la
traslación.
- Los
botones en el menú Figuras
muestran u
ocultan las diferentes figuras
de la escena.
-
Los botones del menú Retos proponen diferentes retos para
realizar con las herramientas de
la escena. El botón +
da varias actividades para que
los estudiantes trabajen en sus cuadernos.
Sugerencias
didácticas
Después
de explorar cada simetría se recomienda resolver en equipos los
diferentes retos que aparecen en la escena. Las respuestas deben ser
escritas para que el alumno verbalice las ideas matemáticas que
va desarrollando.
Al
finalizar los 8 retos se pueden resolver los problemas que aparecen en el
botón +, ya sea de
tarea o en clase, de forma individual o en
equipo.
3.
Simetrías
El
apartado
Simetrías evalúa a los alumnos
haciéndolos identificar las propiedades de diferentes figuras geométricas. Así
mismo estimula la imaginación espacial, ya que, para contestar
correctamente, hay que imaginar los diferentes movimientos del plano
aplicados a las figuras.
Instrucciones
Utilizando los botones se seleccionan las
simetrías que posee la figura mostrada. Pulsando el botón
Verificar se comprueba la respuesta seleccionada.
Sugerencias
didácticas
Este apartado sirve para poner en
práctica las definiciones sobre simetría axial, central y
de rotación de una figura dada. Se recomienda dejar que los
alumnos discutan cuál es la respuesta correcta mientras el
profesor
simplemente sigue las instrucciones que estos le den. Esta escena es, en particular, muy
buena para detectar definiciones mal aprendidas.
Para
ilustrar mejor las instrucciones que dan los alumnos sobre los centros
o ejes de simetría es conveniente pintarlos con los plumones del
pizarrón electrónico, ya que no alteran las funciones del
programa y aclaran ampliamente los conceptos aprendidos.
4. Realidad
El
apartado Realidad nos permite identificar
simetrías sobre objetos reales. Esta actividad es especial para ampliar
la discusión sobre la aplicación de modelos matemáticos
al mundo real.
Instrucciones
Al
presionar los distintos botones se pueden distinguir simetrías
diferentes. Se
puede cambiar la imagen apretando el botón Siguiente
Imagen.
Sugerencias
didácticas
En el apartado Realidad se
muestran varios ejemplos del mundo actual. Se sugiere pedir a los
alumnos que pinten los ejes y centros de simetría con el plumón del
pizarrón electrónico antes de
comprobarlos con
los botones.
La parte más interesante de esta
actividad es comentar como se aplican las estructuras
matemáticas a la realidad, que significa aproximar el mundo
mediante estructuras y cuales son los beneficios que obtenemos mediante
estas aproximaciones.
Un posible comienzo para este ejercicio
es darse cuenta de que si uno se fija en muchos detalles de una figura
del
mundo real ésta “deja” de ser simétrica. Es decir que uno
adapta una estructura matemática según las propiedades
del objeto estudiado que a uno le interesan. Por ejemplo, si uno quiere
cubrir una pared con mosaicos hexagonales que sea durable y resistente,
no
importa que dibujo tenga cada mosaico. Pero si el objetivo es que sea
atractiva a la vista, entonces podría ser de utilidad el fijarse
en este detalle.
5. TANGRAM
El
apartado TANGRAM está diseñado para favorecer
ampliamente las habilidades para identificar desarrollos
simétricos mediante este divertido juego.
Instrucciones
Para armar la figura que se seleccione de la
parte inferior, hay que mover los TANS (pedazos del TANGRAM) con el
control de rondana usado en el apartado Propiedades.
Sugerencias
didácticas
La última actividad se dedica al
antiguo juego chino del TANGRAM. Esta actividad es ampliamente
recomendada para obtener un aprendizaje sólido sobre la
manipulación de figuras utilizando “movimientos en el plano”.
Con ella se refuerzan los conceptos de simetría axial y de
rotación de una forma no convencional; ya que, para llegar a
obtener una figura simétrica dada, se tienen que pasar por un
proceso laborioso pero divertido. Los alumnos apreciarán
más el resultado obtenido y la aplicación de las
definiciones adquiridas en clase.
Es ampliamente recomendable apoyar esta
actividad con TANGRAMS de papel. Éstos pueden hacer con hojas de
cuaderno en clase imitando el TANGRAM armado en forma de cuadrado que
aparece en esta actividad. Cada vez que se escoja un reto en el
apartado se les propone a los alumnos el realizarlo. Cuando un alumno
lo haya conseguido, se le pasa al pizarrón electrónico
para que muestre su solución moviendo las piezas del cuadrado.
Datos curiosos sobre las simetrías:
-
Las simetrías son de gran utilidad al estudiar las
estructuras microscópicas de los cristales, como la de los
cuarzos,
los diamantes, los zafiros, la sal, el hielo, los rubíes, etc.
(Por ejemplo se puede distinguir entre una zirconia y un diamante
viendo la diferencia que existe entre la simetrías de sus
reflejos, los diamantes para
conservar su peso, se cortan de forma irregular, lo cual distorsiona
los reflejos que tiene sobre el. Para distinguir un zafiro estrella
real de uno falso que iguale el color se observa la bella
simetría hexagonal que estos producen, las imitaciones baratas
generalmente no la tienen). Nota: Las zirconias son
también conocido con el nombre de circones y son
utilizados en la joyería para imitar diamantes.
-
Las simetrías se utilizan para
calcular los
movimientos de algunas máquinas, como por ejemplo las ruedas de
la fortuna.
-
Las galaxias espiral se clasifican de
acuerdo a su simetrías de rotación.
-
En la industria textil, las
simetrías se utilizan
para crear bellos dibujos que,
por repetir el mismo patrón, se producen de forma sencilla reduciendo costos.
-
En ingeniería, las estructuras
simétricas, en general son más estables que las no
simétricas (imagina una llanta de auto que no tenga los
tornillos acomodados simétricamente, por ejemplo amontonados
todos en un solo lugar).
-
Los árabes reprodujeron todos los grupos de
simetrías del plano en
diferentes
obras artísticas hace ya varios siglos antes de que se
comenzaran a estudiar en occidente. Pueden verse casi todas los posibles grupos de
simetría en La Alhambra, ubicada en Granada, España.
-
La naturaleza tiene una gran variedad de figuras
simétricas. En
general, genéticamente es más fácil dar
instrucciones para que se forme un ser "simétrico" a darlas para
formar uno que no lo sea. Este fenómeno se estudia en
Morfogénesis y en
formación de patrones.
Créditos
Autor
Claudio Francisco Nebbia Rubio
Agradecimientos
A Julio Arnoldo Prado Saavedra y a Oscar Escamilla González,
integrantes del Grupo Descartes, por sus ideas y apoyo en la
realización de esta unidad.
Esta unidad interactiva fue desarrollada en el
ILCE por el
Grupo Descartes.
Sus
contenidos se distribuyen bajo una licencia de
Creative Commons by-nc-sa. 
La unidad utiliza Descartes
que es software libre.
Adaptación
a DescartesJS: Juan Gmo. Rivera Berrío y José R. Galo Sánchez
(2016)
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