Formalización del problema

Tendencia de cocientes sucesivos de números de Fibonacci

Ya sabemos que el número de Fibonacci de una generación \(n\) (la cual, en el caso de las abejas, corresponde al número de abejas en esa generación) se denota como \(F_n\). El número de Fibonacci de una generación sucesiva se denotará entonces como \(F_{n-1}\). De tal forma que el cociente entre estos dos sucesivos es \(\frac{F_n}{F_{n-1}}\).
Y seguramente observaste en la segunda página de la exploración que al ser \(n\) cada vez más grande, este cociente parece tender a un valor determinado, representado por la línea verde en el recurso interactivo de esa página.

Objetivo

Dada la notación de cocientes de números de Fibonacci, vamos a determinar el valor al que se aproximan dichos cocientes de generaciones sucesivas al crecer mucho \(n\).

Para ello, es importante notar algunas cosas:

El siguiente espacio interactivo te ayudará a entender cómo usar los 2 puntos anteriormente mencionados para obtener la ecuación requerida y, a partir de ésta, calcular el valor al que tienden los cocientes.

En el siguiente interactivo habrás de responder primero una serie de preguntas que te llevarán al valor exacto al que tienden los cocientes de números de Fibonacci sucesivos al hacerse \(n\) tan grande como se desee. Para avanzar de una pantalla a otra, habrás primero de responder correctamente las preguntas de la pantalla en que te encuentres. Una vez que respondas bien todas las preguntas, podrás cerrar la ventana de preguntas y observar los valores de los cocientes de la sucesión hasta el decimoquinto valor. Haz tu mejor intento para encontrar las respuestas por tu propia cuenta. Intenta varias veces de ser necesario. Tras tres intentos fallidos tendrás acceso a la respuesta. Sin embargo, sólo pulsa el botón 'Respuesta' cuando realmente no logres obtener la solución al problema.

Algunas observaciones sobre el número \(\Phi\)

Observamos que los cocientes de números sucesivos de la sucesión de Fibonacci tienden a \(\Phi\), la proporción áurea.

En la parte de reflexiones de la unidad Geometría: Impresión a escala también se hace referencia a esta proporción.

Habrás notado que los cocientes tienden a este número muy rápido, tal que para la decimoquinta generación casi no se notan ya diferencias hasta los 5 primeros decimales.

Algunas propiedades sorprendentes de dicho número:


Tarea

Trata de encontrar, por tu cuenta, el mismo número al que tienden los cocientes pero ahora usando el cociente \(\frac{F_n}{F_{n-1}}\) en vez del \(\frac{F_{n-1}}{F_{n-2}}\). Se te presentan algunas sugerencias:

  • Recuerda que para ello, deberás usar el hecho de que el número de Fibonacci de un cierto índice es igual a la suma del número de Fibonacci de un índice previo y aquél de dos índices menores. Ahora deberás encontrar una forma de expresar a \(F_{n-2}\) en términos de \(F_n\) y \(F_{n-1}\).

  • Al igual que como se realizó en el espacio interactivo, con que llegues a la ecuación \(x^2=x+1\) es suficiente, ya que ya sabes que el resolverla para \(x\) dará el resultado que buscas.

Solución

  1. Sabemos que \(F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}\). De ahí que \(F_{n-2}=F_n-F_{n-1}\).

  2. Sustituyendo esto en la igualdad ya obtenida de \(\frac{F_n}{F_{n-1}}=\frac{F_{n-1}}{F_{n-2}}\), se obtiene que \(\frac{F_n}{F_{n-1}}=\frac{F_{n-1}}{F_n-F_{n-1}}\).

  3. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \(F_n-F_{n-1}\), de donde se obtiene \(\frac{{F_n}^2-{F_n}{F_{n-1}}}{F_{n-1}}=F_{n-1}\).

  4. Dividimos ambos lados por \(F_n\), de donde \(\frac{F_n-F_{n-1}}{F_{n-1}}=\frac{F_{n-1}}{F_n}\), que simplificando resulta ser \(\frac{F_n}{F_{n-1}}-1=\frac{F_{n-1}}{F_n}\).

  5. El cociente que buscamos es \(\frac{F_n}{F_{n-1}}\), al cual bautizaremos como \(x\). Así, la ecuación queda representada como \(x-1=\frac{1}{x}\).

  6. Multiplicamos ambos lados por \(x\), lo cual nos da \(x^2-x=1\). Agrupando los términos de un mismo lado de la igualdad, se obtiene \(x^2-x-1=0\), la misma que habíamos obtenido anteriormente.

Avanza ahora a la parte de resolución de problemas para practicar con algunos ejercicios relacionados con la sucesión de Fibonacci.