Análisis de la ecuación de segundo grado en dos variables. Parte 2: Encontrar los ejes de simetría
Ejes de simetría del lugar geométrico definido por una ecuación general de segundo grado
La rotación por un ángulo \( \theta \) se obtiene cambiando la coordenada \(x\) por \[x cos \theta − y sen \theta \] y la coordenada y por \[x sen \theta + y cos \theta \] Estos cambios llevan la ecuación con centro en el origen: \[a x^2+b xy+c y^2+F=0 \tag{1} \] a la forma \[a(x cos\theta −y sen \theta )^2+b(x cos \theta −y sen \theta )(x sen \theta +y cos \theta)+c(x sen \theta +y sen \theta )^2+F=0 \tag{2} \] y puede escribirse así: \[Ax^2+Bxy+Cy^2+F=0 \tag{3} \] donde: \[A=a cos^2 \theta +b cos \theta sen \theta +c sen^2 \theta \] \[B=a(2cos\theta sen\theta )+b(cos^2 \theta −sen^2 \theta )−c(2cos \theta sen \theta )\] \[C=asen^2 \theta −bsen \theta cos \theta +c cos^2\theta \] Usando las fórmulas del \(seno\) y el \(coseno\) del doble de un ángulo: \[sen2\theta =2sen \theta cos\theta \] \[cos2\theta =cos^2\theta -sen^2\theta \] el nuevo coeficiente del término cruzado puede escribirse como: \[B=(a-c)sen(2\theta )-bcos(2\theta )\] y éste coeficiente se anula si \(\theta =\frac{atan(\frac{b}{a-c})}{2} \), esto cuando \(a \neq c \). Cuando \(a=c\) podemos anularlo tomando \( \theta =\frac{\pi }{4}\) (es decir, \(45°\)).
Tomando este valor de \(\theta \) la ecuación toma la forma simple \[Ax^2+Cy^2+F=0 \tag{4} \] Ésta puede reescribirse como \( \pm \frac{x^2}{\alpha ^2} \pm \frac{y^2}{\beta ^2}=1\) mediante las siguientes definiciones:
-
(E) Caso elíptico: \(AC>0\), es decir, \(A\) y \(C\) tienen el mismo signo.
Ambos signos serán positivos si \(A\) y \(C\) tienen el mismo signo y \(F\) tiene el contrario. Entonces
la ecuación es la de una elipse. Si \(A\) y \(C\) tiene el mismo signo y \(F=0\) entonces la ecuación es
la de un solo punto, concretamente, el origen. Si \(A\), \(C\) y \(F\) tienen el mismo signo entonces la
ecuación no tiene soluciones, es decir, el lugar geométrico que define es vacío.
- (H) Caso hiperbólico: \(AC<0\), es decir, \(A\) y \(C\) tienen signos opuestos. En este caso uno de los dos signos será positivo y el otro negativo. Concretamente, el signo negativo va en el primer sitio si \(F\) tiene el mismo signo que \(A\) y en el segundo sitio si \(F\) tiene el mismo signo que \(C\). Cuando \(F\) es cero la ecuación se reduce a \[ \frac{x^2}{\alpha ^2}=\frac{y^2}{\beta ^2} \] o, equivalentemente, \[ \pm \frac{x}{\alpha}= \pm \frac{y}{\beta} \] que representa a dos rectas.
Se puede demostrar que \( \Delta =ac-\frac{b^2}{4}=AC\) con lo que antes de hacer el análisis completo se puede saber si la ecuación es de tipo elíptico o hiperbólico según el signo de \( \Delta \).
La forma cuadrática: \[ax^2+bxy+cy^2 \tag{5} \] puede identificarse con la matriz simétrica: \[M= \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \\ \end{bmatrix} \] mediante el producto \(r^tMr\) donde \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}\) es el vector columna cuyas coordenadas son \(x\) y \(y\) y \(r^t=[x \quad y]\) es el vector transpuesto de \(r\).
Es fácil comprobar que con estas definiciones, \[r^tMr=ax^2+bxy+cy^2\] La transformación del plano correspondientes a esta matriz deja unos vectores invariantes. Para encontrarlos encontramos primero los valores propios o eigenvalores de M, que son los números reales \(λ_1\) y \(λ_2\), que son las soluciones de la ecuación cuadrática: \[(a-λ)(c-λ)-\frac{b^2}{4}=0\] Esta ecuación cuadrática tiene siempre dos soluciones reales: \[λ_i=\frac{a+c \pm \sqrt{(a-c)^2+b^2} } {2} \]
Los eigenvalores \({λ_i}\) tienen la propiedad de hacer que los sistemas de ecuaciones: \[(a-λ_i)x+\frac{b}{2}y=0\] \[ \frac{b}{2}x+(c-λ_i)y=0\] con \(i = 1, 2\), tienen soluciones no triviales que son dos vectores \(e_1=\begin{bmatrix}x_1 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} \), \(e_2=\begin{bmatrix}x_2 \\ y_2 \\ \end{bmatrix} \), los cuales elegiremos de magnitud \(1\). En efecto, podemos tomar para \(i = 1, 2\):
Estos vectores \(e_1\) y \(e_2\) se llaman eigenvectores o vectores propios de la matriz \(M\) y son
casi invariantes ante \(M\), pues \(Me_i=λ_ie_i\). Además, coinciden con las direcciones de los
ejes principales de nuestro lugar geométrico.
Las flechas rojas que aparecen en la escena son los eigenvectores de la matriz \(M\) y se
calculan precisamente como acabamos de describir. Es importante notar que los eigenvectores
son ortogonales entre sí y de hecho la matriz cuadrada que forman es una rotación. Más aún:
\[\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \\ \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} cos \theta & sen\theta \\ -sen\theta & cos\theta \\\end{bmatrix}\]
La gran ventaja del método de eigenvalores y eigenvectores es que puede aplicarse también a
formas cuadráticas en tres o más variables. De hecho la idea de diagonalizar matrices simétricas
puede generalizarse a operadores en espacios de dimensión infinita y tiene aplicaciones
importantes en la Física. Por ejemplo, los eigenvalores de cierto operador son los niveles de energía
de los átomos.
Créditos
Escena original
Diseño del contenido | José Luis Abreu León |
Diseño funcional | José Luis Abreu León |
Programación | José Luis Abreu León Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Adaptación
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
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La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.
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