# Paralelismo de los lados de 2 triángulos, semejanza y proporcionalidad

## El trabajo de Eudoxo

La teoría de las proporciones data de la Grecia antigua. Se atribuye dicha teoría a Eudoxo, y se encuentra registrada en el libro V de los Elementos de Euclides como la 5a definición:

Se dice que cuatro magnitudes se encuentran en la misma razón, la primera a la segunda, y la tercera a la cuarta cuando un mismo múltiplo de la primera y la tercera ya sea ambos exceden, son ambos iguales a, o son ambos menores que, múltiplos iguales de la segunda y cuarta magnitudes, respectivamente, tomados en el orden correspondiente.

Los griegos no contaban con la notación matemática con que hoy contamos, y una gran cantidad de su maravilloso trabajo lo expresaban en forma de palabras. Traduciendo el anterior enunciado a notación más moderna, quedaría como \(\alpha:\beta::\gamma:\delta\) (que se puede entender como \(\alpha\) es a \(\beta\) como \(\gamma\) es a \(\delta\)) cuando se cumple que:

- \(p\alpha > q\beta\) y \(p\gamma > q\delta\),
- \(p\alpha = q\beta\) y \(p\gamma = q\delta\),
- \(p\alpha < q\beta\) y \(p\gamma < q\delta\).

Asimismo, \(\alpha:\beta::\gamma:\delta\) puede escribirse, en términos de fracciones, como \(\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\gamma}{\delta}\).

A continuación se te brinda un recurso interactivo en que puedes notar dicha asociación de magnitudes para los tamaños de los lados de triángulos semejantes.

En el espacio de abajo podrás generar varios triángulos con vértices A, B y C con el botón 'Nuevo'. Una vez que cuentes con un triángulo, escoge un segmento (AB, BC o AC) con el menú 'Segmento', el cual podrás desplazar de tal forma que se forme un triángulo semejante dentro del original. El desplazamiento del mismo lo puedes hacer con el pulsador 'Desplazar'. Presta especial atención a la inclinación de los segmentos original y desplazado, y la relación entre los lados de ambos triángulos.

En el interactivo, para cuantificar la inclinación de tu segmento y la de su correspondiente original usamos la pendiente de los mismos. De unidades anteriores, sabes que cuando la pendiente es la misma (como habrás también observado en el interactivo), implica que los segmentos son paralelos. Nota que el usar un segmento paralelo al del lado correspondiente en el triángulo original resultará en formar los mismos ángulos con los segmentos flanqueadores que aquellos formados en el triángulo original. El hecho de que el triángulo original y aquél con el segmento desplazado compartan todos los ángulos implica (como viste en la página pasada) que son semejantes. Y nota que, al ser semejantes, las longitudes de sus lados son proporcionales.

Ésta es otra forma de ver que, si los lados de dos triángulos son proporcionales, entonces serán semejantes y sus ángulos internos serán los mismos. O, en reversa, si dos triángulos comparten sus ángulos internos, entonces serán semejantes y la proporción de sus lados correspondientes habrá de ser la misma. No importa que un triángulo esté girado, invertido, o no sea exactamente del mismo tamaño que el otro, serán semejantes si se cumplen dichas condiciones. Y en el caso particular de que la proporción de sus lados es exactamente la unidad, entonces no sólo serán semejantes, sino también congruentes.

Así pues, el trabajo de Eudoxo, aunque no pensado específicamente para la semejanza de triángulos, se puede relacionar con ésta mediante la proporcionalidad de los lados de triángulos semejantes.

Algo interesante que vale la pena notar es que la semejanza te permite hacer relaciones no sólo entre lados correspondientes de cada triángulo. Si, por ejemplo, en 2 triángulos semejantes tienes que \(\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}\), puedes pasar lo que está dividiendo al lado opuesto de la igualdad multiplicando, obteniendo que \((A'B')(AC)=(A'C')(AB)\). Posteriormente, puedes pasar dividiendo al lado izquierdo de la igualdad el factor \(A'C'\), mientras que el factor \(AC\) lo pasas dividiendo a la derecha de la igualdad. De tal forma que obtienes \(\frac{A'B'}{A'C'}=\frac{AB}{AC}\). Nota que estás obteniendo que, para triángulos semejantes, el cociente de un lado respecto al otro del mismo triángulo es igual al cociente de los lados correspondientes en el otro triángulo. Esto es, hiciste una relación ya no entre lados de cada triángulo, sino entre lados de un mismo triángulo con los lados del semejante.

Este tipo de relaciones resulta muy útil en la resolución de problemas que involucran triángulos semejantes.

Aborda ahora la parte de los ejercicios.

Créditos y condiciones de uso
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# Créditos y condiciones de uso

Recurso elaborado para la unidad de enseñanza-aprendizaje Taller de Matemáticas de la Universidad Autónoma Metropolitana, unidad Cuajimalpa, en colaboración con el Laboratorio LITE de Innovación en Tecnología Educativa S.C.

- Autor de la unidad: Alejandro Radillo Díaz
- Revisión: Tine Stalmans

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La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.